人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.2.1 《基本初等函数的导数及导数的运算法则》名师 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
1. 解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2. 求函数的导数的方法是:
复习引入
(1)求函数的增量
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:
;
(3)求极限,得导函数.
说明:上面的方法中把换即为求函数在点处的导数.
3.函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,即.这也是求函数在点 处的导数的方法之一.
4.函数 在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率.
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即
复习引入
人教A版同步教材名师课件
基本初等函数的导数及导数的运算法则
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握基本初等函数的导数公式 数学运算
熟知导数的四则运算法则及其在求导中的应用 数学运算
能进行简单的复合函数的求导 逻辑推理
学习目标
学习目标:
1.能根据定义求函数,的导数.
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.
3.能利用导数的运算法则求函数的导数.
学科核心素养:
1.通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习,体现数学运算的核心
素养.
2.借助导数运算法则的应用,提升逻辑推理的核心素养.
探究新知
函数的导数
因为,
所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即一直处于静止状态.
探究新知
函数的导数
因为,
所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动.
探究新知
函数的导数
因为,
所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,越来越小,减少得越来越慢;当时,随着的增加,越来越大,增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.
探究新知
函数的导数
因为
,
所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为,这说明随着的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数.
探究新知
函数的导数
因为,
所以.
探究新知
函数的导数
因为
,
所以.
原函数 导函数
(为常数)
且
0
基本初等函数的导数公式
探究新知
且 ,且
,且 _______,且
基本初等函数的导数公式
探究新知
轮流求导之和
上导乘下,下导乘上,差比下方
探究新知
导数的运算法则:(和差积商的导数)
如果上式中,则公式变为:
探究新知
设,,计算与,它们与和有什么关系？再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？
设+,
因为,
所以.
而,
所以;
同理,.
探究新知
探究新知
一般地,对于两个函数和的和(或差)的导数,我们有如下法则:
设,,计算与,它们是否相等
与商的导数是否等于它们导数的商呢
探究新知
通过计算可知, ,因此.同样,.
对于两个函数和的乘积(或商)的导数,我们有如下法则:
;
探究新知
;
由函数的乘积的导数法则可以得出
也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即
对于两个函数和的乘积(或商)的导数,我们有如下法则:
典例讲解
例1、求下列函数的导数:
(1); (2); (3); (4).
(1).
(2).
(3) .
(4) .
解析
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)若给出的函数不符合导数公式,则通过恒等变换对函数进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.
方法归纳
用公式求函数导数的方法
变式训练
1、求下列函数的导数.
(1); (2); (3); (4).
(1).
(2) .
(3)因为,所以.
(4).
解析
典例讲解
例2、求下列函数的导数:
(1);(2);
(3);(4).
(1)
.
(2)因为,
所以.
解析
典例讲解
(3)
.
(4)
例2、求下列函数的导数:
(1);(2);
(3);(4).
解析
方法归纳
利用导数的公式及运算法则求导的思路
变式训练
2、求下列函数的导数:
(1); (2) ;
(3); (4).
(1) .
(2).
(3)
.
解析
变式训练
(4)因为,
所以.
2、求下列函数的导数:
(1); (2) ;
(3); (4).
解析
典例讲解
(1)因为,
所以.
又直线的斜率为,
所以根据题意得,解得.
例3、(1)若曲线在处的切线与直线互相垂直,则实数________.
(2)已知曲线,则过点且与曲线相切的切线方程为________.
2
解析
典例讲解
(2)满足题意.因为点不在曲线上,
故需设切点坐标为,则切线斜率为 .
又因为切线斜率为,所以,
所以,得.所以切点为,斜率为,
所以切线方程为,即.
例3、(1)若曲线在处的切线与直线互相垂直,则实数________.
(2)已知曲线,则过点且与曲线相切的切线方程为________________.
2
解析
或
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点,这是解题时的易错点.
方法归纳
关于求导公式法则的综合应用
变式训练
3、(1)曲线在点处切线的斜率等于(　　)
A.2e　　 B.e C.2 D.1
(2)已知直线是函数的一条切线,则的值为_______.
(1)由题意可得,
所以曲线在点处切线的斜率等于.
C
解析
(2)设切点坐标为.
因为,所以.
所以.
变式训练
3、(1)曲线在点处切线的斜率等于(　　)
A.2e　　 B.e C.2 D.1
(2)已知直线是函数的一条切线,则的值为_______.
C
因为点既在直线上,也在曲线上,
所以把代入①式得,
再把代入②式求出.所以.
解析
第一类为幂函数,(注意幂指数可推广到全体非零实数);
第二类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数;
第三类为指数函数,,当时,的导数是指数函数的导数的一个特例;
第四类为对数函数,也可写为,当时,的导数是对数函数的导数的一个特例.
1.基本初等函数的导数公式可分为四类
素养提炼
素养提炼
2.有些函数可先化简再应用公式求导
如求的导数.
因为,
所以.
素养提炼
3.导数运算法则
法则1:函数的和(或差)的导数
导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即.
法则2:函数的积的导数
(1)当(常数)时,法则2可简化为,即.
(2)由上述结论及法则1可得,其中为常数.
素养提炼
法则3:函数的商的导数
(1) .
(2)当,时,
.
1.要切实掌握常见函数的导数公式.
2、对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式.
3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性的问题.
归纳小结
作 业
P75 练习:2、3
P78 练习:2、3