人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.2第1课时 基本初等函数导数 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第五章　§5.2　导数的计算
第1课时　几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
学习目标
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝___
f(x)＝x f′(x)＝___
f(x)＝x2 f′(x)＝____
f(x)＝ f′(x)＝_____
f(x)＝ f′(x)＝_____
0
1
2x
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax f′(x)＝ (a>0)
知识点二　基本初等函数的导数公式
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
f(x)＝ex f′(x)＝___
f(x)＝logax f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝___
ex
2.若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.(　　)
[思考辨析 判断正误]
√
×
×
题型探究
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数.
解　y′＝0.
(3)y＝lg x；
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思与感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.
如y＝ 可以写成y＝x－4，y＝ 可以写成y＝ 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝ ，则f′(－3)等于
A.81 B.243
C.－243 D.
√
解析　因为f(x)＝x－3，
1
解析　因为f(x)＝ln x(x>0)，
类型二　利用导数公式研究切线问题
命题角度1　求切线方程或切线斜率
y－1＝－(x－1)，
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
①
又y0＝kx0， ②
而且y0＝ln x0， ③
命题角度2　求切点坐标问题
例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.
解　由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧 上的点，使△ABP的面积最大.
达标检测
1.下列函数求导运算正确的个数为
1
2
3
4
5
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确.
1
2
3
4
5
2.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
√
3.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ .
1
2
3
4
5
1
4.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
1
2
3
4
5
(1，e)
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为 ＝ ，
e
又y0＝ ， ②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
5.求过曲线y＝sin x上一点P 且与在该点处的切线垂直的直线方程.
1
2
3
4
5
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
－sin x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.