人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.2 第2课时 导数的四则运算法则 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第2课时　导数的运算法则
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　和、差的导数
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
思考2　试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.
Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
梳理　和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(1)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝ .
②[cf(x)]′＝ .
(2)商的导数
知识点二　积、商的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
1.若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)
2.函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　)
[思考辨析 判断正误]
√
×
√
题型探究
类型一　利用导数的运算法则求导
例1　求下列函数的导数.
(1)y＝3x2＋xcos x；
解　y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；
解　y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
(4)y＝x2＋tan x；
反思与感悟　(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
跟踪训练1　求下列函数的导数.
解　
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5).
解　方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)
＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.
类型二　导数公式及运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得
f′(x)＝xcos x.
解　由已知得f′(x)
＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得
f′(x)＝xcos x.
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.
令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.
1
命题角度2　与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解　因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解　由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
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(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为____.
解析　∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，
由导数的几何意义知g′(1)＝2.
又∵f(x)＝g(x)＋x2，
∴f′(x)＝g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
4
达标检测
1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
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2
3
4
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√
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).
√
1
2
3
4
5
3.若函数f(x)＝ f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为
A.－1 B.0
C.1 D.2
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2
3
4
5
√
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
1
2
3
4
5
所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
5.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋ (a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是____.
－3
则a＋b＝－3.
1
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3
4
5
1.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
2.和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).
规律与方法
3.积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，