人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.2第3课时 复合函数求导数 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第3课时　简单复合函数的导数
学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).
问题导学
知识点　复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).
思考　这两个函数有什么共同特征？
答案　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的.
梳理
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ .
复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于___________
.
x的函数
f(g(x))
yu′·ux′
y对u的导数
与u对x的导数的乘积
1.函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　)
2.函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x.(　　)
3.函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成.(　　)
[思考辨析 判断正误]
√
×
×
题型探究
类型一　求复合函数的导数
命题角度1　单纯的复合函数求导
例1　求下列函数的导数.
解　y＝
设y＝ ，u＝1－2x2，
(2)y＝log2(2x＋1)；
解　设y＝log2u，u＝2x＋1，
(3)y＝ecos x＋1；
解　设y＝eu，u＝cos x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin x)
＝－ecos x＋1sin x.
反思与感悟　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练1　求下列函数的导数.
(1)y＝(x2－4)2；
(2)y＝ln(6x＋4)；
解　y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x
＝4x3－16x.
(3)y＝103x－2；
解　y′＝(103x－2ln 10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.
(6)y＝cos2x.
解　y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
命题角度2　复合函数与导数运算法则结合求导
例2　求下列函数的导数.
反思与感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导.
跟踪训练2　求下列函数的导数.
(1)y＝sin3x＋sin x3；
解　y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(2)y＝xln(1＋2x).
解　y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′
类型二　复合函数导数的应用
解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.
反思与感悟　复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
解　由y＝esin x，
得y′＝(esin x)′＝cos xesin x，
即 ＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
达标检测
1
2
3
4
5
C.ex－e－x D.ex＋e－x
√
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
－1
解析　由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，
得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，
5.曲线 y＝ 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____.
e2
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，
1
2
3
4
5
解析
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
规律与方法