人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【同步练习】5.1.1变化率问题（含解析）

第五章 一元函数的导数及其应用
5．1．1变化率问题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A.0.40 B.0.41
C.0.43 D.0.44
2.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
3．（2019·山东潍坊一中高二月考）若函数由至的平均变化率的取值范围是，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2020·河北承德第一中学高二月考）一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　)
A.3Δt＋6 B.－3Δt＋6
C.3Δt－6 D.－3Δt－6
5.（2019·辽宁阜新实验中学高二月考）一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值（ ）．
A.1 B.2 C.4 D.6
6.（2019·山东省实验中学高二期中）如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）[.]
A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4]．
7.（2019·吉林东北师大附中高二月考）一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
8.（2019·山东青岛二中高二月考）函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A.k1k2
C.k1＝k2 D.无法确定
9.【多选】（2019·山西应县一中高二期末（文））在附近,取,关于下列说法正确的有（ ）
平均变化率为0.3
平均变化率为0.69
平均变化率为1.197
平均变化率为0.3.
10.（2019·辽宁大连二十四中高二期中）如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
11.（2019·天津静海一中高一月考）球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________.
12.（2020·吉林吉化第一高级中学校高二期末）如图是函数的图象.
（1）函数在区间上的平均变化率为______；
（2）函数在区间上的平均变化率为______.
13.（2020·陕西西安中学高二月考）婴儿从出生到第24个月的体重变化情况如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率.
14.（2019·湖南长沙一中高二月考）【题型二、三】已知自由落体的运动方程为s＝gt2(s的单位：m，t的单位：s，g的单位：m/s2，g为常数).
(1)求落体从t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)求落体从t0＝10 s到t＝10.1 s这段时间内的平均速度.
第五章 一元函数的导数及其应用
5．1．1变化率问题答案
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A.0.40 B.0.41
C.0.43 D.0.44
【答案】B [.]
【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，
∴Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
2.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
【答案】C
【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1[.]
＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
3．（2019·山东潍坊一中高二月考）若函数由至的平均变化率的取值范围是，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由至时，，
函数由至的平均变化率为，
，，故选：B.
4.（2020·河北承德第一中学高二月考）一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　)
A.3Δt＋6 B.－3Δt＋6
C.3Δt－6 D.－3Δt－6
【答案】D
【解析】平均速度为
＝＝－3Δt－6，
故选D.
5.（2019·辽宁阜新实验中学高二月考）一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值（ ）．
A.1 B.2 C.4 D.6
【答案】B
【解析】质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
∴li ＝4a＝8，即a＝2.
6.（2019·山东省实验中学高二期中）如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）[.]
A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4]．
【答案】D[]
【解析】由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
7.（2019·吉林东北师大附中高二月考）一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
【答案】D
【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝li (－3Δt－6)＝－6.
8.（2019·山东青岛二中高二月考）函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A.k1k2
C.k1＝k2 D.无法确定
【答案】D
【解析】k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定.
9.【多选】（2019·山西应县一中高二期末（文））在附近,取,关于下列说法正确的有（ ）
平均变化率为0.3
平均变化率为0.69
平均变化率为1.197
平均变化率为0.3.
【答案】ABC
【解析】根据平均变化率的计算公式，可得，
所以在附近取，则平均变化率的公式为，
则要比较平均变化率的大小，只需比较的大小，
下面逐项判定：
①中，函数，则，正确
②中，函数，则，正确
③中，函数，则，正确
④中，函数中, 则，错误
故选ABC．
10.（2019·辽宁大连二十四中高二期中）如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
【答案】③
【解析】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.
因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．
11.（2019·天津静海一中高一月考）球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________.
【答案】π
【解析】∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴球的体积平均膨胀率为＝π.
12.（2020·吉林吉化第一高级中学校高二期末）如图是函数的图象.
（1）函数在区间上的平均变化率为______；
（2）函数在区间上的平均变化率为______.
【答案】
【解析】（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2）由函数的图象知，，[来源:网]
所以函数在区间上的平均变化率为.
13.（2020·陕西西安中学高二月考）婴儿从出生到第24个月的体重变化情况如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率.
【解析】第一年婴儿体重平均变化率为
＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为
＝0.25(千克/月).
14.（2019·湖南长沙一中高二月考）【题型二、三】已知自由落体的运动方程为s＝gt2(s的单位：m，t的单位：s，g的单位：m/s2，g为常数).
(1)求落体从t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)求落体从t0＝10 s到t＝10.1 s这段时间内的平均速度.
【解析】(1)当时间从t0到t0＋Δt的改变量为Δt时，
s的相应改变量为Δs＝g(t0＋Δt)2－gt
＝gt0Δt＋g(Δt)2，
所以从t0到t0＋Δt这段时间内，
落体的平均速度为＝＝
＝g(t0＋Δt).
(2)当t0＝10 s，Δt＝0.1 s时，
由(1)知落体的平均速度＝g(10＋×0.1)
＝10.05g(m/s).
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