人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.2《导数的运算》课时1 教学设计

《导数的运算》教学设计
课时1基本初等函数的导数
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
基本初等函数的导数 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的应用 2.复合函数导数的求导法则 【考查题型】 填空题、解答题
导数的四则运算法则 数学抽象 逻辑推理 数学运算
简单复合函数的导数 数学抽象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要知识内容是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则以及复合函数的求导公式,是导数的计算的关键部分,对后面更深刻的研究导数起着至关重要的作用,在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的本质,也给出根据定义求导数的方法.但是,如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往极为复杂和困难,甚至是不可能的.因此,我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则,借助它们来简化导数的运算过程,因此教材直接给出基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决,为以后导数的研究带来方便.
同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题,但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透彻,就得继续研究导数.教材层层深入,由易到难,给我们展示了什么是复合函数,同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生.因此,使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.基本初等函数的导数 2.导数的四则运算法则 3.简单复合函数的导数 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
知识结构:学生已学习导数的概念和几何意义,了解并掌握运用导数的定义去求函数的导数.
心理特征:高二的学生已经具备了一定自主学习、分析探究问题的能力,让学生自主学习、恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.基本初等函数的导数
2.导数的四则运算法则
3.简单复合函数的导数
【教学目标设计】
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式.
2.掌握导数的四则运算法则
3.理解并熟练掌握复合函数的求导法则.
【教学策略设计】
在导数的概念建立之后,引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要求学生注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想.在推导函数导数的过程中,不仅巩固了导数的概念,而且规范了利用导数定义求导数的具体解题的过程,让学生亲身感受导数的意义.在教学中,不仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,更注重它的思想和价值,注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习.遇到推导过程中学生容易犯错的地方,及时予以纠正,展示部分同学自己推导公式的过程,巩固导数的概念.通过学习复合函数的求导法则,让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用,体会导数在现实社会中的应用价值.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.基本初等函数的导数公式.
2.导数的四则运算法则.
3.复合函数的求导法则.
难点:
1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.
2.正确理解复合函数的复合过程,做到不重不漏,熟练正确.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法.
师:请同学们回忆根据导数定义求导数的步骤.
【学生独立思考,不看课本,举手发言】
生:(1)先求函数的增量求函数的平均变化率取极限.
师:我们已经熟悉根据定义求导数的三个步骤,那么求常用函数的导数就有法可寻了,下面我们求几个常用的函数的导数.
【设计意图】
根据以往函数的求导步骤,提醒学生注重概念的本质和计算方法,学以致用,融会贯通.
教学精讲
探究1 六种常见函数、、、、、的导数公式
根据导数的定义,求函数的导数,就是求出当时,无限趋近的一个定值,下面我们求几个常用函数的导数.
【情境设置】
函数的导数
解:根据导数定义,因为,
所以.
师:表示的几何意义是什么
生:表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为0.
师:若表示路程关于时间的函数,则表示的物理意义是什么
生:可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.
【设活动 深探究】
运用旧知识学习新知识,让学生去思考更多问题,体会导数的作用和意义,并对现象做出合理解释.
【情境设置】
函数的导数
函数的导数.
解:因为,所以.
师:表示的几何意义与物理意义是什么
生:表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为1.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
【活动学习】
通过一系列的提问与互动,让学生总结一般性的结论,并对几何意义与物理意义做出合理的解释,同时加强学生的自主学习能力和触类旁通的学习意识.
【情境设置】
函数的导数
函数的导数.
解:因为,
所以.
师:表示的几何意义与物理意义是什么
【学生思考,合作交流,教师点拨,共同总结】
生:表示函数图象上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,越来越小,函数减少得越来越慢;当0时,随着的增加,越来越大,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.
【先学后教】
经过前面的学习和教师指导,学生按照以上的研究方法继续类比研究新函数的物理意义和几何意义.
【情境设置】
函数的导数
函数的导数.
解:因为
,
所以.
【学生动手计算,教师点拨,注重计算技巧】
师:函数表示的几何意义是什么
生:表示函数的图象上点处切线的斜率为,这说明随着的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数.
【推测解释能力】
通过具体问题教师启发引导让学生类比推导,提醒学生计算上需要注意的关键点,引导学生重视知识形成的过程,加深理解.
【情境设置】
函数的导数
函数的导数.
解:因为,
所以.
【学生动手计算,教师点拨】
师:函数的几何意义是什么 你能画图解释吗
【师生互动,学生画函数图象,举手发言】
师:函数在点处的切线方程是什么
生:,即.
【先学后教】
经过前面的学习和教师指导,学生按照以上的研究方法继续研究新函数,可以自己动手实践研究函数的几何意义,并能借助图象解释.
【情境设置】
函数的导数
函数的导数.
解:因为
.所以.
师:推广:若,则.
【分析计算能力】
通过学生动手实践,教师点拨,求的导数,提高学生的计算能力.
师:学生根据本节课的知识总结一个求导表格.
【学生思考,小组共同总结】
【归纳总结】
六种常见函数的导数公式
【概括理解能力】
学生通过实践,找到一些简单函数的导数作为我们的基本公式与运算法则,自己总结出来,借助它们来简化导数的计算过程.
探究2 基本初等函数的导数公式表
师:是不是所有函数求导都必须按那三个步骤来求呢 回答是否定的,为了方便,今后我们可以直接使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数.
【要点知识】
基本初等函数的导数公式表
师:这八个常用的基本初等函数的导数,包括常函数、幂函数(指数为非0有理数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数,其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来,但这里不做要求.同学们需要记忆这八个基本初等函数的导数公式.
【意义学习】
学生按照本节课的学习,可以很快理解这个表格的具体内容,通过交流使学生认识事物之间的普遍联系,达到学以致用.
探究3 基本初等函数的导数公式的应用
师:下面我们根据本节课所学来看例题.
【典型例题】
求函数的导数
例1:求下列函数的导数.(1);(2).
【学生自主思考,解答】
【典例解析】
求函数的导数
解:(1);(2).
【先学后教】
引导学生分析应用举例,在完成的同时体会类似的问题,由教师总结处理办法和相关策略,使学生对这种问题印象深刻,运用自如.
【典型例题】
基本初等函数导数的实际应用
例2:假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)
生解:根据基本初等函数导数公式表,有.
所以(元/年)
所以,在第10个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.
师:下面应用所学知识巩固练习一下吧.
【巩固练习】
基本初等函数导数的实际应用
1.求曲线在点处的切线方程.
2.求过点且与曲线相切的直线方程.
3.求曲线过点的切线方程.
生解:1.根据导数的几何意义可知,所求切线斜率为,由于,因此.于是所求得切线方程为,即.
2.设切点为,令,根据导数的几何意义可知,所求切线斜率为.由于,因此,且,所以解得.于是所求切线的方程为,即.
3.因为点不在曲线上,故设切点坐标为.根据导数的几何意义可知,所求切线的斜率为.由于且,所以解得或.
当时,切线方程为;当时,切线方程为.
【简单问题解决能力】
例2让学生通过实例辨别出解决问题的本质,认识到导数可以解决实际问题,从而加深对导数的理解.
【分析计算能力】
根据所学知识,分析具体数据,让学生自主地总结答题方法和计算技巧,提高对本节课知识的运用能力.利用导数公式求导数相对以往简化了很多计算步骤,基本方法和以往比较相对固定,让学生好好比较,教师时刻关注学生计算的处理方式,提高解决问题的能力.
【课堂小结】
基本初等函数的导数
1.利用导数的定义掌握推导六个常用函数的导数,利用它们解决简单问题.
2.利用基本初等函数的导数公式解决简单问题.
【设计意图】
根据我们本节课的学习,让学生体会不用求导直接求简单函数的导数,对于求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程这类问题会比较好求,根据导数公式直接求导再求切点
教学评价
本节内容以前面学习的导数的概念、几何意义及运用导数定义求几个常见函数的导数为基础,给出常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式,说明了为什么要引入导数运算法则,由导数公式及运算法则,就能得到两个基本函数的和、差、积、商的导数,熟练掌握导数公式及运算法则,为后续学习复合函数的导数奠定基础,特别是对研究函数问题掌握了必要的数学工具.
【设计意图】
引导学生整理本节课所学复合函数导数的知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的解题能力和数学核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知是曲线上的两点,
(1)分别求过点,点的曲线的切线方程;
(2)求与直线平行的曲线的切线方程.
解析:根据导数的几何意义和基本初等函数的导数公式求切线的斜率.
(1)因为都是曲线上的点.过点的切线的斜率,过点的切线的斜率,过点的切线方程为,即.过点的切线方程为,即.
(2)因为,直线的斜率,切线的斜率,所以,所以切点,与平行的切线方程为,即.
2.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
解析:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可得正确结论.
A..故选项不正确;B.,故选项B不正确;
C.,故选项C正确;D.,故选项D不正确.
3.求下列函数的导数.
(1);(2);(3);(4.
解析:利用导数的四则运算法则和复合函数的求导公式.
(1)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(2)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(3)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(4)函数可看作函数和的复合函数,函数可看作函数和的复合函数.
【综合问题解决能力】
利用求导法则求出导函数是解题关键,结合导数的几何意义解决切线问题,让学生意识到正确求导的重要性.
【分析计算能力】
利用导数的四则法则和复合函数的求导法则解决相关练习,提升学生的分析计算能力.
教学反思
本教学案例前部分呈现基本初等函数的导数公式及运算法则,让学生了解并掌握公式和法则,并设计例题,让学生熟悉基本初等函数的导数公式和运算法则的应用,通过对例题的学习,体验数学与生活的联系,体会数学的文化价值,即运用数学知识解决实际问题.由于学生对后半部分的复合函数求导法则和法则的综合应用不熟练,教学中应注重概念的理解和应用,提高计算的准确度,并注重学科思想的渗透和数学素养的训练.
【以学定教】
启发并引导学生理解基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则,熟练掌握求导法则,结合导数几何意义解决切线的斜率问题,利用复合函数的导数解题,提高综合解决问题的能力.
【以学论教】
通过对导数的运算的学习,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
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