【中学教材全解】2013-2014学年高中数学北师大版 选修1-2 第三章 32 数学证明 同步练测

3.2 数学证明（北京师大版选修1-2）
建议用时 实际用时 满分 实际得分
45分钟 100分
1、 选择题（每小题8分，共24分）
1. 设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
2. 若，，，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3. 设都是正数，则三个数（　　）
Ａ．都大于2
Ｂ．至少有一个大于2
Ｃ．至少有一个不小于2
Ｄ．至少有一个不大于2
1、 填空题（每小题7分，共28分）
4. 已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
5. 设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
6. 设，若，则　　　　．
7．不共面的三条直线相交于，则直线与的位置关系是　　　　．
三、解答题（共48分）
8. （10分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列 若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明．
9. （10分）已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
10. （10分）已知，且，求证：.
11. （10分）设函数对任意，都有，且时，．
（1）证明：是奇函数；
[]
（2）证明：在上是减函数．
12. （8分）设k∈Ｒ，当k 变化时，（2k－１）x－（k＋3）y－（k－1）＝0有什么不变的性质？
[]
3.2 数学证明（北京师大版选修1-2）
答题纸
得分： []
1、 选择题
题号 1 2 3
答案
二、填空题
4． 5． 6． 7．
三、解答题
8.
[]
9.
[]
10.
11.
12.
3.2 数学证明（北京师大版选修1-2）
参考答案
一、选择题
1. A 2.A 3.C
二、填空题
4. cn＋1三、解答题
8.解：A、B、C成等差数列．
证明如下：
∵ ＋＝，
∴ ＋＝3.
∴ ＋＝1，
∴ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴ b2＝a2＋c2－ac.
在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝.
∵ 0°∴ A＋C＝2B＝120°.
∴ A、B、C成等差数列．
9.解：f(a)＋f(c)>2f(b)．
证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，
所以a＋c>2.
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.
即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.
从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.
因为f(x)＝log2x是增函数，
所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)>2f(b)．
10.证明：，且，
，，，
，
当且仅当时取等号， 不等式成立．
11.证明：（1），，
令，，.
令，代入，
得，
而，，
是奇函数.
（2）任取，且，则，
．
又，
为奇函数，，
，即，
在上是减函数．
12. 解：（归纳的方案）
当k＝１时，方程为x－4y＝０；
当k＝２时，方程为3x－5y－1＝０，联立解得，x＝，y＝；
当k＝３时，方程为５x－６y－２＝０，经过点（ ，） ．
故猜想（２k－１）x－ （k＋３）y－ （k－１）＝０ 恒过定点（ ，） ．