【中学教材全解】2013-2014学年高中数学北师大版 选修1-2 第三章 推理与证明 单元测试题（含答案详解）

第三章 推理与证明（北京师大版选修1-2）
建议用时 实际用时 满分 实际得分
120分钟 150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题7分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.观察下列等式：
1=1，
1+2=3，
1+2+3=6，
1+2+3+4=10，
1+2+3+4+5=15；
=1，
+=9，
++=36，
+++=100，
++++=225.
可以推测：+++…+=( )（n∈，用含有n的代数式表示）
A.（2n+1） B.n
C. D.
2.如图所示是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是
3.对大于或等于2的自然数m的n次幂有如下分解方式：＝1+3，＝1+3+5，＝1+3+5+7；＝3+5，＝7+9+11，＝13+15+17+19.根据上述分解规律，则＝1+3+5+7+9.若（m∈）的分解中最小的数是73，则m的值为( )
A.6 B.8
C.9 D.12
4.“因为指数函数是增函数（大前提）,而y=是指数函数（小前提）,所以函数y=是增函数（结论）”,上面推理的错误在于（ ）
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
5.我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的 是（ ）
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；
④两个正三棱柱；⑤两个正四棱柱.
A.①⑤ B.②③④
C.①③ D.①③⑤
6.已知函数f（x）=-，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）<0.若实数d是方程f（x）=0的解，那么下列四个判断：①dc中有可能成立的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若a,b,c是不全相等的实数,求证：++＞ab+bc+ca.
证明过程如下：
∵ a,b,c∈R,
∴ +≥,+≥,
+≥2ac.
又∵ a,b,c不全相等,
∴ 以上三式至少有一个“＝”不成立,
∴将以上三式相加得2(++)＞2(ab+bc+ac),
∴ ++＞ab+bc+ca.
此证法是（ ）
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法并用 D.反证法
8.命题“如果数列{}的前n项和=-3n,那么数列{}一定是等差数列”是否成立（ ）
A.不成立 B.成立
C.不能断定 D.能断定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
9.观察下列等式：
1=1,
2+3+4=9,
3+4+5+6+7=25,
4+5+6+7+8+9+10=49,
第五个等式应为 .
10.要证明“+＜2”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 .(填序号)
①反证法;②分析法;③综合法.
11.给出下列命题：
命题1：点（1,1）是直线y=x与双曲线y=的一个
交点；
命题2：点（2,4）是直线y=2x与双曲线y=的一个交点；
命题3：点（3,9）是直线y=3x与双曲线y=的一个交点；
….
请观察上面命题,猜想出命题n(n是正整数)为 .
12.若数列{}()是等差数列，则有数列 ()也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{}()是等比数列，且则数列 ()也是等比数列.
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
13.（本小题满分12分）证明：不能为同一等差数列的三项.
14.（本小题满分12分）△三边长的倒数成等差数列，求证：∠.
15.（本小题满分12分）自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0.不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
16.（本小题满分12分）设函数.
（1）证明：；
（2）设为的一个极值点，证明:.
17.（本小题满分13分）通过计算可得下列等式：
；
将以上各式分别相加得
即
类比上述求法，请你求出的值.
18.（本小题满分13分）已知△的三条边长分别为求证：
第三章 推理与证明（北京师大版选修1-2）
答题纸
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6[] 7 8
答案
二、填空题
9． 10． 11． 12． []
三、解答题
13.
[]
14.
15.
[]
16.
17.
[]
18.
第三章 推理与证明（北京师大版选修1-2）
参考答案
一、选择题
1.C 解析：由题意知1=1×1，9=3×3，36=6×6，100=10×10，225=15×15，∵ 1，3，6，10，15，…的第n项与第n-1项（n≥2）的差为-=n，∴ -=2，-=3，-=4，…，-=n，各式相加得=+2+3+…+n，其中=1，∴ =1+2+3+…+n，即＝，∴=.
2.A 解析：该五角星灯对角上的两灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
3.C 解析：的分解式中，最小的数依次为3，7，13，…，-m+1，…，由-m+1＝73，得m=9.
4.A 解析：y=是增函数的条件是a1.
5.C 解析：球和正四面体的大小不同时,形状完全相同,所以是相似体,但是长方体、正三棱柱和正四棱柱的大小不同,形状也可以不同,它们不是相似体,所以选C.
6.C 解析：f（x）在（0，+∞）上单调递减，值域为R.又a0， f（c）<0，由f（d）=0知，a7.C 解析：这一过程综合应用了分析法和综合法.
8.B 解析：=2-3=-1,
当n≥2时,=-3n-2+3（n-1）=-3n-+4n-2+3n-3=4n-5,且n=1时=-1成立,
∴ =4n-5是等差数列.
二、填空题
9.5+6+7+8+9+10+11+12+13＝81 解析：第n行等式的左边：以n为首项，公差为1的等差数列的前2n-1项的和，右边为，所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13＝81.
10.② 解析：由式子特点,宜选用分析法,两边平方分析证明.
11.点(,)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点 解析：观察三个命题易知,命题n中交点坐标为(,),直线方程为y=nx,双曲线方程为y=.
12. 解析：由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想.
三、解答题
13.证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数满足
①②得
两边平方得325222()2.
左边为无理数，右边为有理数，有理数无理数，
所以假设不正确，即，，不能为同一等差数列的三项.
14.证明：=
为△三边，， .
15.解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于1，∈，
从而由（*）式得
因为1>0，所以.
猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
16.证明：（1）
=
（2） ①
又 ②
由①②知所以
17.解：
；
将以上各式分别相加得
所以
18.证明：设
设是上的任意两个实数，且，
因为，所以.
所以在上是增函数.
由知即.