人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.3.2_函数的极值 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
5.3.2　函数的极值与导数(一)
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
问题导学
思考　观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.
知识点一　函数的极值点和极值
答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).
梳理　(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ ，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ ，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极大值点， 叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .
0
f′(x)<0
f′(x)>0
点a
f(a)
0
f′(x)>0
f′(x)<0
点b
f(b)
极值点
极值
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是 ；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是 .
知识点二　函数极值的求法与步骤
极大值
极小值
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程 的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
f′(x)＝0
1.导数为0的点一定是极值点.(　　)
2.函数的极大值一定大于极小值.(　　)
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(　　)
4.极值点处的导数一定为0.(　　)
[思考辨析 判断正误]
×
×
×
×
题型探究
类型一　求函数的极值点和极值
命题角度1　不含参数的函数求极值
例1　求下列函数的极值.
解　函数f(x)的定义域为R.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ?↗ 极大值 ↘
反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然.
解　f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ?↘ 极小值 ↗
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝
当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.
跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值.
解　函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e－2.
(2)f(x)＝x2e－x.
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
反思与感悟　讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行.
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
(2)求函数f(x)的极值.
例3　(1)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(－1,0)
类型二　利用函数的极值求参数
√
解析　若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.
(2)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝____，b＝____.
2
9
解析　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数，
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟　已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.
解　∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
跟踪训练3　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
达标检测
1
2
3
4
5
1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的
部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
√
解析　根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
1
2
3
4
5
C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点
√
1
2
3
4
5
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因为x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
3.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为____.
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
0
1
2
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－2
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).
1
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(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.
1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.
规律与方法
2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.