人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.3.3函数的最值 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
5.3.3　函数的最大(小)值与导数(一)
学习目标
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
问题导学
如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.
知识点　函数的最大(小)值与导数
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).
思考1　观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
连续不断
极值
各极值 端点
最大值
最小值
1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　)
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.
(　　)
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(　　)
[思考辨析 判断正误]
√
×
×
题型探究
类型一　求函数的最值
命题角度1　利用导数直接求最值
例1　求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
解　f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －
f(x) －60 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ －5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].
解　f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.
故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
f′(x)＝0时，x＝2，
当f′(x)>0时，x<2，
当f′(x)<0时，x>2.
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
跟踪训练1　求下列函数的最值.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
命题角度2　对参数讨论求最值
例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.
解　因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.
于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
引申探究　
1.若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.
解　因为a＝1，b＝－2，
g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，
又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，
因为x∈[0,1]，
解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
解　当b＝0时，因为f(x)＝ex－ax2－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，
又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，
g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意.
2.当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值.
于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解　f′(x)＝3x2－2ax.
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
从而f(x)max＝f(0)＝0.
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
类型二　由函数的最值求参数
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在
[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3达标检测
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1.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则
A.函数f(x)没有最大值也没有最小值
B.函数f(x)有最大值，没有最小值
C.函数f(x)没有最大值，有最小值
D.函数f(x)有最大值，也有最小值
√
解析　由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值.
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2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，－19
√
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1 [－3,0].
所以最大值为3，最小值为－17.
解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；当00.
√
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5
4.函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为______.
－37
解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由题意知，在区间[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，
∴f(x)min＝－37.
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5.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
解　因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
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解　令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值，f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4.
因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
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(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值.
1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
规律与方法