人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.3.2《函数的单调性》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.3.2《函数的单调性》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 14:14:02 | ||
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文档简介
《函数的单调性》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 问题1:判断函数单调性的方法有哪些 提示:定义法、图象法、性质法、复合函数同增异减法. 问题2:我们已经学习了导数的概念和运算,能否利用导数来判断函数的单调性呢 教师组织学生回答问题1. 学生思考问题2,并表述自己的想法. 复习前面学过的判断函数单调性的方法. 提出问题引发学生思考,通过此问题激发学生的求知欲.
探究新知1 思考:如图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象,图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象.是函数的零点. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别 问题3:我们看到,函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢 提示:对于高台跳水问题,可以发现: 当时,,函数的图象是“上升”的,函数在内单调递增; 当时,,函数的图象是“下降”的,函数在内单调递减. 问题4:观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与导数的正负的关系. 提示: 如图,导数表示函数的图象在点处的切线的斜率,可以发现: 在处,,切线是“左下右上”的上升式,函数的图象也是上升的,函数在附近单调递增; 在处,,切线是“左上右下”的下降式,函数的图象也是下降的,函数在附近单调递减. 教师引导学生理解题意,观察图象,然后进行分析.学生观察并思考,得到结论: (1)从起跳到最高点,运动员的重心处于上升状态,离水面的高度随时间的增加而增加,即单调递增.相应地,. (2)从最高点到入水,运动员的重心处于下降状态,离水面的高度随时间的增加而减小,即单调递减.相应地,. 学生观察图象,归纳总结高台跳水问题中函数的单调性与的正负的关系,教师点评并补充. 教师引导学生逐个观察函数图象,分析函数的单调性与导函数的正负之间的关系,师生共同得出结论: 一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系: 在某个区间上,如果0,那么函数在区间上单调递增; 在某个区间上,如果0,那么函数在区间上单调递减. 通过实例探究,初步得出函数的单调性与其导函数正负的关系,培养学生的数学抽象、直观想象核心素养与归纳概括能力. 通过探究特例,归纳概括导数判断函数单调性的基本原理,发展学生的直观想象、数学抽象核心素养,同时体会从特殊到一般的数学思想.
应用举例1 例1 利用导数判断下列函数的单调性: (1); (2); (3). 解:(1)因为, 所以. 所以,函数在上单调递增,如图(1)所示. (2)因为, 所以. 所以,函数在内单调递减,如图(2)所示. (3)因为,所以. 所以,函数在区间和上单调递增,如图(3)所示. 例2 已知导函数的下列信息: 当时,; 当,或时,; 当,或时,. 试画出函数图象的大致形状. 解:当时,,可知在区间内单调递增; 当,或时,,可知在区间和上都单调递减; 当,或时,. 综上,函数图象的大致形状如图所示. 例3 求函数的单调区间. 解:函数的定义域为.对求导数,得. 令,解得,或. 和把函数定义域划分成三个区间,在各区间上的正负,以及的单调性如下表所示. 所以,在和上单调递增,在内单调递减,如图所示. 教师出示例1,指三名学生板演,其余学生在练习本上完成.完成后师生共同点评板演. 教师出示例2,引导学生根据题目给出的信息画出函数图象的大致形状.学生展示自己画的图象,教师进行点评. 教师总结:研究一个函数图象与其导函数之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 教师出示例3,引导学生用导数的方法独立完成解答,学生完成后教师进行点评. 教师提出问题:如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题 运算过程麻烦吗 你有什么体会 学生尝试解答,发表自己的想法. 教师总结判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性. 通过利用导数判断函数的单调性,发展学生的数学运算与逻辑推理核心素养. 通过利用导函数的信息画函数图象的大致形状,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养. 通过解答例题,引导学生归纳并掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤,发展学生的数学运算、直观想象与数学抽象核心素养.
探究新知2 探究:我们知道对数函数与幂函数在区间上都是单调递增的,但它们增长的快慢是不同的,如何从导数的角度来判断它们增长的快慢 提示:因为对数函数的导数为,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越小,所以函数递增得越来越慢,图象上升得越来越“平缓”,如图. 幂函数的导数为,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越大,函数递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”,如图. 教师让学生画出对数函数与幂函数在区间上的图象并观察.学生画出图象后观察,并从导数的角度说说导数对函数图象增长快慢的反映情况. 教师总结结论:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. 通过特例,体会函数增长快慢与导数之间的关系,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养.
应用举例2 例4 设,两个函数的图象如图所示.判断的图象与之间的对应关系. 解:因为,所以. 当时,; 当时,; 当时,. 所以,在上都是增函数.在区间上,的图象比的图象要“陡峭”;在区间上,的图象比的图象要“平缓”.所以,的图象依次是上图中的. 教师出示例4,引导学生分析解题思路.学生讨论交流,并利用导数识别函数图象得出结论,随后教师评价讲解. 通过典型例题的分析和解决,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养.
课堂小结 1.知识 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)利用导数识别函数图象. 2.思想方法 由特殊到一般思想、数形结合思想. 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上深入理解本节内容.
布置作业 1.教材第87页练习第1,2,3题. 2.教材第89页练习第1,2,3题. 学生独立完成,教师批阅. 通过练习巩固本节重点知识.
板书设计:
函数的单调性 一、复习引入 二、探究新知1 一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下关系: 在某个区间上,如果,那么函数在上单调递增; 在某个区间上,如果,那么函数在上单调递减 三、应用举例1 举1 例2 例3 判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性 四、探究新知2 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓” 五、应用举例2 例4 六、课堂小结 1.知识 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 (2)利用导数判断函数的单调性 (3)利用导数求函数的单调区间 (4)利用导数识别函数 图象 2.思想方法 由特殊到一般思想、数形结合思想 七、布置作业
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 问题1:判断函数单调性的方法有哪些 提示:定义法、图象法、性质法、复合函数同增异减法. 问题2:我们已经学习了导数的概念和运算,能否利用导数来判断函数的单调性呢 教师组织学生回答问题1. 学生思考问题2,并表述自己的想法. 复习前面学过的判断函数单调性的方法. 提出问题引发学生思考,通过此问题激发学生的求知欲.
探究新知1 思考:如图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象,图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象.是函数的零点. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别 问题3:我们看到,函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢 提示:对于高台跳水问题,可以发现: 当时,,函数的图象是“上升”的,函数在内单调递增; 当时,,函数的图象是“下降”的,函数在内单调递减. 问题4:观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与导数的正负的关系. 提示: 如图,导数表示函数的图象在点处的切线的斜率,可以发现: 在处,,切线是“左下右上”的上升式,函数的图象也是上升的,函数在附近单调递增; 在处,,切线是“左上右下”的下降式,函数的图象也是下降的,函数在附近单调递减. 教师引导学生理解题意,观察图象,然后进行分析.学生观察并思考,得到结论: (1)从起跳到最高点,运动员的重心处于上升状态,离水面的高度随时间的增加而增加,即单调递增.相应地,. (2)从最高点到入水,运动员的重心处于下降状态,离水面的高度随时间的增加而减小,即单调递减.相应地,. 学生观察图象,归纳总结高台跳水问题中函数的单调性与的正负的关系,教师点评并补充. 教师引导学生逐个观察函数图象,分析函数的单调性与导函数的正负之间的关系,师生共同得出结论: 一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系: 在某个区间上,如果0,那么函数在区间上单调递增; 在某个区间上,如果0,那么函数在区间上单调递减. 通过实例探究,初步得出函数的单调性与其导函数正负的关系,培养学生的数学抽象、直观想象核心素养与归纳概括能力. 通过探究特例,归纳概括导数判断函数单调性的基本原理,发展学生的直观想象、数学抽象核心素养,同时体会从特殊到一般的数学思想.
应用举例1 例1 利用导数判断下列函数的单调性: (1); (2); (3). 解:(1)因为, 所以. 所以,函数在上单调递增,如图(1)所示. (2)因为, 所以. 所以,函数在内单调递减,如图(2)所示. (3)因为,所以. 所以,函数在区间和上单调递增,如图(3)所示. 例2 已知导函数的下列信息: 当时,; 当,或时,; 当,或时,. 试画出函数图象的大致形状. 解:当时,,可知在区间内单调递增; 当,或时,,可知在区间和上都单调递减; 当,或时,. 综上,函数图象的大致形状如图所示. 例3 求函数的单调区间. 解:函数的定义域为.对求导数,得. 令,解得,或. 和把函数定义域划分成三个区间,在各区间上的正负,以及的单调性如下表所示. 所以,在和上单调递增,在内单调递减,如图所示. 教师出示例1,指三名学生板演,其余学生在练习本上完成.完成后师生共同点评板演. 教师出示例2,引导学生根据题目给出的信息画出函数图象的大致形状.学生展示自己画的图象,教师进行点评. 教师总结:研究一个函数图象与其导函数之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 教师出示例3,引导学生用导数的方法独立完成解答,学生完成后教师进行点评. 教师提出问题:如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题 运算过程麻烦吗 你有什么体会 学生尝试解答,发表自己的想法. 教师总结判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性. 通过利用导数判断函数的单调性,发展学生的数学运算与逻辑推理核心素养. 通过利用导函数的信息画函数图象的大致形状,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养. 通过解答例题,引导学生归纳并掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤,发展学生的数学运算、直观想象与数学抽象核心素养.
探究新知2 探究:我们知道对数函数与幂函数在区间上都是单调递增的,但它们增长的快慢是不同的,如何从导数的角度来判断它们增长的快慢 提示:因为对数函数的导数为,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越小,所以函数递增得越来越慢,图象上升得越来越“平缓”,如图. 幂函数的导数为,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越大,函数递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”,如图. 教师让学生画出对数函数与幂函数在区间上的图象并观察.学生画出图象后观察,并从导数的角度说说导数对函数图象增长快慢的反映情况. 教师总结结论:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. 通过特例,体会函数增长快慢与导数之间的关系,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养.
应用举例2 例4 设,两个函数的图象如图所示.判断的图象与之间的对应关系. 解:因为,所以. 当时,; 当时,; 当时,. 所以,在上都是增函数.在区间上,的图象比的图象要“陡峭”;在区间上,的图象比的图象要“平缓”.所以,的图象依次是上图中的. 教师出示例4,引导学生分析解题思路.学生讨论交流,并利用导数识别函数图象得出结论,随后教师评价讲解. 通过典型例题的分析和解决,发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养.
课堂小结 1.知识 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)利用导数识别函数图象. 2.思想方法 由特殊到一般思想、数形结合思想. 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上深入理解本节内容.
布置作业 1.教材第87页练习第1,2,3题. 2.教材第89页练习第1,2,3题. 学生独立完成,教师批阅. 通过练习巩固本节重点知识.
板书设计:
函数的单调性 一、复习引入 二、探究新知1 一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下关系: 在某个区间上,如果,那么函数在上单调递增; 在某个区间上,如果,那么函数在上单调递减 三、应用举例1 举1 例2 例3 判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性 四、探究新知2 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓” 五、应用举例2 例4 六、课堂小结 1.知识 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 (2)利用导数判断函数的单调性 (3)利用导数求函数的单调区间 (4)利用导数识别函数 图象 2.思想方法 由特殊到一般思想、数形结合思想 七、布置作业
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