人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册5.3.2《函数的单调性》教学设计

《函数的单调性》教学设计
一、创设情境,导入新课
师:对于函数,在内随的变化趋势是怎样的 回答这个问题,我们需要了解函数的什么性质
生:函数的单调性.
师:如何判断这个函数的单调性呢
生:画图象,用定义.
师:有的同学说利用图象,有的同学说用定义,那么我们就动手做一下.
生动手操作.
师(选择画图象的同学):能画出图象来吗
生:不能.
师:哪位同学说一下利用单调性的定义怎么解决
生:在内任取两个自变量,且,需要确定的符号.
师:能判断吗
生:不可以.
师:也就是说已有的方法无法判断该函数的单调性,那么判断函数的单调性还有其他途径吗
设计意图:
尝试用已有的知识解决非基本初等函数的单调性问题,引发认知冲突,激发学生的求知欲望.
二、推进新课
1.合作探究(1)
师:追本溯源,我们重新回到定义,请一位同学回答函数单调性的定义.
生:一般地,设函数的定义域为,区间.
(1)如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增,是增函数.
(2)如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,是减函数.
师:我们是否可以利用定义通过判断的符号,来确定函数的单调性
生:可以.当时,因为,则,所以函数单调递增;当时,因为,则,所以函数单调递减.
师:是函数值的增量与自变量的增量的比值,在本章中,这叫什么
生:平均变化率.
师:设,当无限趋近于0时,可以由平均变化率得到瞬时变化率,用瞬时变化率刻画函数在某点附近的变化情况.瞬时变化率也就是我们这一章学习的导数,这一节我们就用导数研究函数的单调性.
设计意图:
引发学生思考导数与函数单调性的关系.这个过程由浅入深,层层递进.
2.合作探究(2)
师:我们知道,当函数单调递增时,函数的平均变化率大于0;当函数单调递减时,函数的平均变化率小于0.结合导数与平均变化率的关系,能否确定导数与函数的单调性有关系
生:应该有关系.
师:我们从最熟悉的基本初等函数入手来研究,大家画出的图象.
学生动手画出上述函数图象.
师:导数的几何意义是什么
生:函数图象在该点处切线的斜率.
师:大家先确定上述函数的单调性,再用直尺作函数图象的切线,观察切线斜率的正负,汇成表格,分小组讨论.
师:你发现函数的单调性与导数有怎样的关系
生:导数为负数时,函数在该点附近单调递减;导数为正数时,函数在该点附近单调递增.
师:数学来源于生活,我们再看看生活中的例子.
如图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.
图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象.是函数的零点.
师:观察图(2),当时,,此时函数的单调性是怎样的 当时,,此时函数的单调性又是怎样的
生:由图(1)知,当时,函数单调递增,当时,此时函数单调递减.
设计意图:
利用所学基本初等函数知识及生活中的实例探索函数单调性与导数的关系.
3.教师精讲(1)
一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系:
在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递增;
在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递减.
设计意图:
借助于导数研究函数的单调性有利于发展学生的直观想象和逻辑推理核心素养.
4.合作探究(3)
师:观察对数函数在区间上的图象,探究导函数的大小与原函数的变化快慢有什么关系
生:对数函数的导数为,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越小,所以函数递增得越来越慢,图象上升得越来越“平缓”.
师:观察幂函数在区间上的图象,能否验证这一结论
生:幂函数的导数为,,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越大,函数递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”.
师:如何说明导数与函数变化的快慢之间的关系
生:因为导数的几何意义为函数的图象在点处切线的斜率,所以如果导数在某一范围内的绝对值较大,意味着函数图象在这一范围内各点处切线的斜率的绝对值较大.又在各点附近,曲线可由该点处的切线近似代替,所以呈现的函数图象就比较“陡峭”.
设计意图:
通过数形结合研究函数的性质,培养学生探究问题的能力.
5.教师精讲(2)
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
设计意图:
拓展了导数的应用功能,加深了学生对于导数的理解,提升学生的识图能力.
三、例题剖析
例1 求下列函数的单调区间：
(1);
(2);
(3);
(4).
解:(1)函数的定义域为.
因为,所以.
由,得.
因为当时,,
所以函数的单调递增区间为;
因为当时,,
所以函数的单调递减区间为.
(2)函数的定义域为.
因为,
所以.
令,得.
因为当时,,
所以函数的单调递增区间为;
因为当时,,又函数的定义域为,
所以函数的单调递减区间为和.
(3)的定义域为.
.
令,得或.
因为当时,,
所以函数在区间内单调递增;
因为当或时,,
所以函数在区间和上单调递减.
故函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.
(4)方法一:.
①当时,,其单调递减区间为,单调递增区间为.
②当时,令,得或.
因为,所以当或时,;当时,.
故的单调递增区间为和,单调递减区间为.
方法二:.
①当时,,其单调递减区间为,单调递增区间为.
②当时,令,即,得或;由,得.
故的单调递增区间为和,单调递减区间为.
教师总结判断函数单调性的一般步骤:
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数的零点;
第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,判断在各区间上的正负(可列表给出),由此得出函数在定义域内的单调性.
设计意图:
通过例题的解答,归纳利用导数判断函数单调性的一般步骤.
练习:试求函数的单调区间.
答案:函数的定义域为,.
当时,,
所以,则在上单调递减.
当时,由,得,解得;
由,得,解得.
所以当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.
综上所述,当时,的单调递减区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.
例2 已知函数的图象是下列四个图象之一,且其导函数的图象如图所示,则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
分析:方法一:由函数的导函数的图象在轴上方,且从左到右先增后减,可知函数的图象的切线的斜率为正,且从左到右先增大后减小.
方法二:由于恒成立,根据导数符号和函数单调性的关系可知,单调递增,即图象从左至右上升,四个图象都满足.由于当时,且越来越小,则函数值增加得越来越慢,图象呈现上凸状;当时,且越来越大,故函数值增加得越来越快,图象呈现下凸状,可以判断B符合要求.
答案:B
设计意图:通过观察图象,引导学生分析、解决问题,帮助学生理清导函数图象与原函数图象的关系.
例3 已知函数.若函数在内单调递减,求的取值范围.
解:因为,所以.
因为在内单调递减,
所以时,恒成立,即恒成立.
设,
所以,而.
因为,所以.
所以(此时),
所以.
当时,
.
因为,
所以,
即在上为减函数.
故实数的取值范围是.
归纳总结:已知含参函数在区间上的单调性求参数取值范围的方法如下:
(1)利用集合的包含关系处理:在上单调递增(减),则区间是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理:在上单调递增(减),则在内恒成立,注意验证等号是否成立.
设计意图:
通过例题的解决,归纳利用函数的单调性求参数取值范围的方法.
四、课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获与体会 与同伴交流一下所学到的知识.
五、布置作业
教材第89页练习第1,2题.
板书设计:
5.3.1 函数的单调性 一、创设情境,导入新课 二、推进新课 1.函数单调性与导数的关系 一般地,函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系: 在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递增; 在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递减 2.函数变化快慢与导数的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓” 三、例题剖析 例1 判断函数单调性的一般步骤： 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,判断在各区间上的正负(可列表给出),由此得出函数在定义域内的单调性 例2 例3 四、课堂小结 五、布置作业
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