人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.3.1《函数的极值与最大（小）值》教学设计（表格式）
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| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.3.1《函数的极值与最大（小）值》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 14:15:21 | ||
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文档简介
《函数的极值与最大(小)值》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识复习 问题1 函数的单调性与导函数的正负有什么样的关系 判断函数单调性的一般步骤是什么 提示:(1)定义在区间上的函数: (2)判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性. 问题2 在利用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函数图象的上升或下降.如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢 教师提出问题1,让学生举手回答.借助于此,让学生回忆上节课所学的知识. 教师提出问题2,引发学生的思考. 复习函数的单调性与导数正负的关系及利用导数求函数单调性的一般步骤,为利用导数研究函数极值作准备. 创设问题情境,目的是引出函数的极值.
问题探究1 问题3 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象,通过观察,我们发现当时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地,导数的正负性有什么变化规律 提示:放大附近函数的图象,如图(2),可以看出;在附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,.这就是说,在附近,函数值先增(当时,后减(当时,).这样,当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是有. 思考:对于一般的函数,是否也具有同样的性质呢 问题4 如图,函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 在这些点的导数值是多少 在这些点附近,的导数的正负性有什么规律 提示:以两点为例,可以发现,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧.类似地,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧. 教师引导学生观察图象,利用前面所学的导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系,让学生思考问题并得出结论,教师给予点拨与总结. 教师出示问题4,学生分组讨论,并试着总结出极大值点与极大值、极小值点与极小值的概念. 通过对问题的思考,初步认识函数的极值点. 结合图象,引导学生进一步清晰地认识函数的极值与极值点,帮助学生理解并得出极值与极值点的概念.发展直观想象与数学抽象核心素养.
概念形成 1.函数的极值与极值点的定义 (1)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. (2)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点. 极小值和极大值统称为极值. 2.极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 教师结合前面的问题,引导学生得出极值和极值点的定义,同时要特别指明函数的极值是函数的局部性质. 通过抽象得出函数的极值与极值点的定义,培养学生的数学抽象核心素养.
应用举例1 例1 求函数的极值. 解:因为,所以 . 令,解得,或. 当变化时,的变化情况如下表所示. 因此,当时,有极大值,并且极大值为; 当时,有极小值,并且极小值为. 函数的图象如图所示. 问题5 极大值一定比极小值大吗 提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值. 问题6 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 提示:导数值为0的点不一定是函数的极值点. 教师出示例1,学生分组练习并交流讨论,教师巡视,收集问题并及时解答. 教师利用特殊函数的图象说明问题5(如函数的图象(如图)). 教师引导学生回答,及时做出评价. 教师提出问题6,学生思考,教师举例讲解: 对于函数,我们有.虽然,但由于无论,还是,恒有,即函数是增函数,所以0不是函数的极值点. 通过例题的解决,初步学会利用导数求极值的方法,发展数学运算核心素养. 强调函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质. 通过图象加深学生对函数极值的理解. 通过问题的思考,使学生明确:函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件.
归纳总结 一般地,可按如下方法求函数的极值: 解方程,当时: (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 师生共同讨论并总结出求函数极值的一般步骤. 理解并学会求函数极值的一般步骤,发展数学抽象核心素养.
问题探究2 问题7 如图是函数的图象,你能找出它的极大值、极小值吗 提示:图中是函数的极大值;是函数的极小值. 问题8 观察问题7中图,进一步地,你能找出函数在区间上的最大值、最小值吗 提示:函数的最大值为,最小值为. 问题9 如图(1)(2),观察上的函数和的图象,它们在上有最大值、最小值吗 如果有,最大值和最小值分别是什么 提示:函数的最大值为,最小值为;函数的最大值为,最小值为. 教师提问,学生回答,然后师生共同总结出函数极值与函数最值的关系. 通过比较函数的极值与最值,探寻求函数最值的方法.提高学生的逻辑推理核心素养.
形成结论 1.一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求最值的方法:只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值与最小值. 3.最值反映的是函数的整体性质,最值是通过比较整个定义区间上的函数值得出的,而函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个(也可能不存在).极值只能在区间内取得,而最值则可以在端点处取得.有极值的函数未必有最值,有最值的函数未必有极值.函数的极值有可能成为最值,函数的最值只要不在端点处取得必定是极值. 教师引导学生思考并总结求函数最值的方法,以及函数极值与最值的区别与联系. 总结出利用导数求函数最值的方法,培养学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.
应用举例2 例2 求函数在区间上的最大值与最小值. 解:由例1可知,在区间上,当时,函数有极小值,并且极小值为. 又因为, 所以,函数在区间上的最大值是4,最小值是. 例3 证明:当时,.① 证明:我们将不等式①转化为 . 设,那么 令,解得. 当变化时,的变化情况如表所示. 所以,当时,取得最小值.所以 即 所以,当时,. 例4 给定函数. (1)判断函数的单调性,并求出的极值; (2)画出函数的大致图象; (3)求出方程的解的个数. 解:(1)函数的定义域为. 令,解得. 的变化情况如表所示. 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增. 当时,有极小值. (2)令,解得. 当时,;当时,. 所以,的图象经过特殊点. 当时,与一次函数相比,指数函数呈爆炸性增长,从而; 当时,. 根据以上信息,画出的大致图象如图所示. (3)方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由(1)及上图可得,当时,有最小值. 所以,关于方程的解的个数有如下结论: 当时,解为0个; 当或时,解为1个; 当时,解为2个. 例5 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分,其中单位:)是瓶子的半径.已知每出售的饮料,制造商可获利分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大 (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小 解:由题意可知,每瓶饮料的利润是 . 所以. 令,解得. 当时,;当时,. 因此,当半径时,单调递增,即半径越大,利润越高;当半径时,单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为时,利润最大. (2)半径时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 教师给出例2,让学生独立完成,指名学生板演.教师巡视,了解学生是否会求函数的最值.最后教师引导学生总结出求函数最值的步骤: 一般地,求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数在区间上的极值; (2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 教师提出问题(例3),学生先自主思考,然后分组讨论,共同完成证明,并派代表发言. 教师出示例4,要求学生分组讨论,然后进行点评并讲解.师生共同得出画函数的大致图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)求导数及函数的零点; (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,并得出的单调性与极值; (4)确定的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出的大致图象. 教师提出饮料瓶大小对饮料公司利润的影响的问题如下:(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大 学生思考并尝试回答上述问题,之后教师给出例5,学生思考完成. 教师给出下列点拨: 解决最优化问题的基本思路: 解决最优化问题的一般步骤: (1)审题:阅读理解题目中文字表达的含义,分清条件和结论,找出问题的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)作答:对结果进行验证评估,定性定量分析,作出正确的判断,确定其答案. 注意:实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键. 例题的解决,使学生熟练掌握利用导数求函数最值的方法,并总结归纳出求函数最值的一般步骤,发展学生的数学运算核心素养. 使学生进一步掌握利用导数求函数最值的方法,并能运用它进行简单的证明,发展学生的逻辑推理核心素养. 归纳得出利用导数画出陌生函数大致图象的一般方法,体会数形结合思想的应用,理清画图步骤与求函数单调区间、函数极值之间的联系,培养学生的直观想象核心素养. 通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用,提高学生的数学建模核心素养.
课堂小结 1.知识 (1)利用导数求函数的极值. (2)利用导数求函数的最大(小)值. 2.思想方法与核心素养 数形结合、数学运算、逻辑推理、数学建模等 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上把握本节内容.
布置作业 教材第98页习题5.3第5,6,7题. 学生独立完成,教师批阅. 通过练习,巩固本节重点知识.
板书设计:
5.3.2函数的极值与最大(小)值 一、知识复习 二、问题探究 三、概念形成 函数的极值与极值点的定义: (1)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. (2)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值 四、应用举例1 例1 五、归纳总结 一般地,可按如下方法求函数的极值: 解方程,当时: (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 六、问题探究2 七、形成结论 八、应用举例2 例2 一般地,求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数在区间上的极值; (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 例3 例4 画函数的大致图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)求导数及函数的零点; (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,并得出的单调性与极值; (4)确定的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出的大致图象 例5 九、课堂小结 十、布置作业
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识复习 问题1 函数的单调性与导函数的正负有什么样的关系 判断函数单调性的一般步骤是什么 提示:(1)定义在区间上的函数: (2)判断函数单调性的一般步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数的零点; 第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性. 问题2 在利用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函数图象的上升或下降.如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢 教师提出问题1,让学生举手回答.借助于此,让学生回忆上节课所学的知识. 教师提出问题2,引发学生的思考. 复习函数的单调性与导数正负的关系及利用导数求函数单调性的一般步骤,为利用导数研究函数极值作准备. 创设问题情境,目的是引出函数的极值.
问题探究1 问题3 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象,通过观察,我们发现当时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地,导数的正负性有什么变化规律 提示:放大附近函数的图象,如图(2),可以看出;在附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,.这就是说,在附近,函数值先增(当时,后减(当时,).这样,当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是有. 思考:对于一般的函数,是否也具有同样的性质呢 问题4 如图,函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 在这些点的导数值是多少 在这些点附近,的导数的正负性有什么规律 提示:以两点为例,可以发现,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧.类似地,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧. 教师引导学生观察图象,利用前面所学的导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系,让学生思考问题并得出结论,教师给予点拨与总结. 教师出示问题4,学生分组讨论,并试着总结出极大值点与极大值、极小值点与极小值的概念. 通过对问题的思考,初步认识函数的极值点. 结合图象,引导学生进一步清晰地认识函数的极值与极值点,帮助学生理解并得出极值与极值点的概念.发展直观想象与数学抽象核心素养.
概念形成 1.函数的极值与极值点的定义 (1)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. (2)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点. 极小值和极大值统称为极值. 2.极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 教师结合前面的问题,引导学生得出极值和极值点的定义,同时要特别指明函数的极值是函数的局部性质. 通过抽象得出函数的极值与极值点的定义,培养学生的数学抽象核心素养.
应用举例1 例1 求函数的极值. 解:因为,所以 . 令,解得,或. 当变化时,的变化情况如下表所示. 因此,当时,有极大值,并且极大值为; 当时,有极小值,并且极小值为. 函数的图象如图所示. 问题5 极大值一定比极小值大吗 提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值. 问题6 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 提示:导数值为0的点不一定是函数的极值点. 教师出示例1,学生分组练习并交流讨论,教师巡视,收集问题并及时解答. 教师利用特殊函数的图象说明问题5(如函数的图象(如图)). 教师引导学生回答,及时做出评价. 教师提出问题6,学生思考,教师举例讲解: 对于函数,我们有.虽然,但由于无论,还是,恒有,即函数是增函数,所以0不是函数的极值点. 通过例题的解决,初步学会利用导数求极值的方法,发展数学运算核心素养. 强调函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质. 通过图象加深学生对函数极值的理解. 通过问题的思考,使学生明确:函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件.
归纳总结 一般地,可按如下方法求函数的极值: 解方程,当时: (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 师生共同讨论并总结出求函数极值的一般步骤. 理解并学会求函数极值的一般步骤,发展数学抽象核心素养.
问题探究2 问题7 如图是函数的图象,你能找出它的极大值、极小值吗 提示:图中是函数的极大值;是函数的极小值. 问题8 观察问题7中图,进一步地,你能找出函数在区间上的最大值、最小值吗 提示:函数的最大值为,最小值为. 问题9 如图(1)(2),观察上的函数和的图象,它们在上有最大值、最小值吗 如果有,最大值和最小值分别是什么 提示:函数的最大值为,最小值为;函数的最大值为,最小值为. 教师提问,学生回答,然后师生共同总结出函数极值与函数最值的关系. 通过比较函数的极值与最值,探寻求函数最值的方法.提高学生的逻辑推理核心素养.
形成结论 1.一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求最值的方法:只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值与最小值. 3.最值反映的是函数的整体性质,最值是通过比较整个定义区间上的函数值得出的,而函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个(也可能不存在).极值只能在区间内取得,而最值则可以在端点处取得.有极值的函数未必有最值,有最值的函数未必有极值.函数的极值有可能成为最值,函数的最值只要不在端点处取得必定是极值. 教师引导学生思考并总结求函数最值的方法,以及函数极值与最值的区别与联系. 总结出利用导数求函数最值的方法,培养学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.
应用举例2 例2 求函数在区间上的最大值与最小值. 解:由例1可知,在区间上,当时,函数有极小值,并且极小值为. 又因为, 所以,函数在区间上的最大值是4,最小值是. 例3 证明:当时,.① 证明:我们将不等式①转化为 . 设,那么 令,解得. 当变化时,的变化情况如表所示. 所以,当时,取得最小值.所以 即 所以,当时,. 例4 给定函数. (1)判断函数的单调性,并求出的极值; (2)画出函数的大致图象; (3)求出方程的解的个数. 解:(1)函数的定义域为. 令,解得. 的变化情况如表所示. 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增. 当时,有极小值. (2)令,解得. 当时,;当时,. 所以,的图象经过特殊点. 当时,与一次函数相比,指数函数呈爆炸性增长,从而; 当时,. 根据以上信息,画出的大致图象如图所示. (3)方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由(1)及上图可得,当时,有最小值. 所以,关于方程的解的个数有如下结论: 当时,解为0个; 当或时,解为1个; 当时,解为2个. 例5 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分,其中单位:)是瓶子的半径.已知每出售的饮料,制造商可获利分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大 (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小 解:由题意可知,每瓶饮料的利润是 . 所以. 令,解得. 当时,;当时,. 因此,当半径时,单调递增,即半径越大,利润越高;当半径时,单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为时,利润最大. (2)半径时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 教师给出例2,让学生独立完成,指名学生板演.教师巡视,了解学生是否会求函数的最值.最后教师引导学生总结出求函数最值的步骤: 一般地,求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数在区间上的极值; (2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 教师提出问题(例3),学生先自主思考,然后分组讨论,共同完成证明,并派代表发言. 教师出示例4,要求学生分组讨论,然后进行点评并讲解.师生共同得出画函数的大致图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)求导数及函数的零点; (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,并得出的单调性与极值; (4)确定的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出的大致图象. 教师提出饮料瓶大小对饮料公司利润的影响的问题如下:(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大 学生思考并尝试回答上述问题,之后教师给出例5,学生思考完成. 教师给出下列点拨: 解决最优化问题的基本思路: 解决最优化问题的一般步骤: (1)审题:阅读理解题目中文字表达的含义,分清条件和结论,找出问题的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)作答:对结果进行验证评估,定性定量分析,作出正确的判断,确定其答案. 注意:实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键. 例题的解决,使学生熟练掌握利用导数求函数最值的方法,并总结归纳出求函数最值的一般步骤,发展学生的数学运算核心素养. 使学生进一步掌握利用导数求函数最值的方法,并能运用它进行简单的证明,发展学生的逻辑推理核心素养. 归纳得出利用导数画出陌生函数大致图象的一般方法,体会数形结合思想的应用,理清画图步骤与求函数单调区间、函数极值之间的联系,培养学生的直观想象核心素养. 通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用,提高学生的数学建模核心素养.
课堂小结 1.知识 (1)利用导数求函数的极值. (2)利用导数求函数的最大(小)值. 2.思想方法与核心素养 数形结合、数学运算、逻辑推理、数学建模等 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上把握本节内容.
布置作业 教材第98页习题5.3第5,6,7题. 学生独立完成,教师批阅. 通过练习,巩固本节重点知识.
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5.3.2函数的极值与最大(小)值 一、知识复习 二、问题探究 三、概念形成 函数的极值与极值点的定义: (1)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. (2)若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧,此时我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值 四、应用举例1 例1 五、归纳总结 一般地,可按如下方法求函数的极值: 解方程,当时: (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 六、问题探究2 七、形成结论 八、应用举例2 例2 一般地,求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数在区间上的极值; (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 例3 例4 画函数的大致图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)求导数及函数的零点; (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,并得出的单调性与极值; (4)确定的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出的大致图象 例5 九、课堂小结 十、布置作业
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