人教A版(2019)数学选择性必修二册 4.2._1等差数列 导学案(含答案)

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名称 人教A版(2019)数学选择性必修二册 4.2._1等差数列 导学案(含答案)
格式 docx
文件大小 57.4KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-03 14:39:44

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文档简介

4.2.1 等差数列 (1)
【学习目标】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及应用.
3.掌握等差数列的判定方法.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P12~15,思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列?
(2)等差数列的通项公式是什么?
(3)等差中项的定义是什么?
二、课前小测
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (  )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关. (  )
(3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (  )
2.在等差数列{an}中,a3=2,d=6.5,则a7=(  )
A.22  B.24   C.26   D.28
3.如果三个数2a,3,a-6成等差数列,则a的值为(  )
A.-1 B.1
C.3 D.4
4.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于________.
5.已知数列{an}的首项a1=,且满足=+5(n∈N*),则a6=________.
三、新知探究
1.等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
符号语言 an+1-an=d(d为常数,n∈N*)
2.等差中项
(1)条件:如果a,A,b成等差数列.
(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是a+b=2A.
思考:观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列:
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
[提示] 插入的数分别为3,2,,0.
3.等差数列的通项公式
以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d.
思考:教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?如何操作?
[提示] 还可以用累加法,过程如下:
∵a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,

an-an-1=d(n≥2),
将上述(n-1)个式子相加得
an-a1=(n-1)d(n≥2),
∴an=a1+(n-1)d(n≥2),
当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,
∴an=a1+(n-1)d(n∈N*).
4.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f (n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上;
(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.
思考:由等差数列的通项公式可以看出,要求an,需要哪几个条件?
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.
四、题型突破
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【反思感悟】
等差数列通项公式的妙用
1 等差数列{an}的通项公式an=a1+ n-1 d中含有四个量,即an,a1,n,d,如果知道了其中的任意三个量,就可以由通项公式求出第四个量,这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.
2 从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+ n-1 d可得an=dn+ a1-d ,当d≠0时,an是关于n的一次函数.
3 由两点确定一条直线的性质可以得出,等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式,可以写出数列中的任意一项.
【跟踪训练】
1.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=6,d=3,求a8;
(2)已知a4=10,a10=4,求a7和d;
(3)已知a2=12,an=-20,d=-2,求n;
(4)已知a7=,d=-2,求a1.
题型二 等差中项的应用
【例2】 (1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是________.
(2)已知,,是等差数列,求证:,,也是等差数列.
[思路探究] (1)―→―→
(2)
【反思感悟】
等差中项应用策略
1 求两个数x,y的等差中项,即根据等差中项的定义得A=.
2 证三项成等差数列,只需证中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则有a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
【跟踪训练】
2.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
题型三 等差数列的判定与证明
[探究问题]
1.在数列{an}中,若an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N*),则{an}是等差数列吗?为什么?
[提示] 由等差数列的定义可知满足an-an-1=d(常数)(n≥2)是等差数列.
2.在数列{an}中,若有2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*)成立,则{an}是等差数列吗?为什么?
[提示] 是,由等差中项的定义可知.
3.若{an}是公差为d的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗?若是,公差是多少?
[提示] ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d.
∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列.
【例3】 已知数列{an}满足a1=2,an+1=.
(1)数列是否为等差数列?说明理由;
(2)求an.
【多维探究】
1.将例题中的条件“a1=2,an+1=”换为“a1=4,an=4-(n>1),记bn=”.
(1)试证明数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
2. 将本例中条件“a1=2,an+1=”换成“a1=,n≥2时有=(n>1,n∈N*)”,结论如何?
【反思感悟】
等差数列的三种判定方法
1 定义法:an+1-an=d 常数 n∈N* {an}为等差数列;
2 等差中项法:2an+1=an+an+2 n∈N* {an}为等差数列;
3 通项公式法:an=an+b a,b是常数,n∈N* {an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.
五、达标检测
1.数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此数列(  )
A.是公差为-3的等差数列 B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列
2.等差数列{an}中,已知a2=2,a5=8,则a9=(  )
A.8 B.12 C.16 D.24
3.已知a=,b=,则a,b的等差中项为______.
4.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a2是关于x的方程x2-a3x+a4=0的两根,求数列{an}的通项公式.
六、本课小结
1.在等差数列的定义中,应该把握好三个关键,即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”.在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.
2.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1,d,n,an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量.
3.等差数列的单调性
d>0 等差数列是递增数列.
d<0 等差数列是递减数列.
d=0 等差数列是常数列.
参考答案
课前小测
1.答案:(1)× (2)√ (3)√
提示:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列.(2)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.(3)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.答案:D
解析:a7=a3+4d=2+4×6.5=28,故选D.
3.答案:D
解析:由条件知2a+(a-6)=3×2,解得a=4.故应选D.
4.答案:60°
解析:因为三内角A,B,C成等差数列,
所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,
所以3B=180°,所以B=60°.
5.答案:
解析:由条件知,-=5,∴为等差数列,且=3,
∴=3+5×5=28,即a6=.
题型突破
【例1】 解:
法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
则由题意得解得
故a75=a1+74d=+74×=24.
法二:∵a60=a15+(60-15)d,∴d==,∴a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
法三:已知数列{an}是等差数列,可设an=kn+b.
由a15=8,a60=20得解得
∴a75=75×+4=24.
【跟踪训练】
1.解:(1)∵a1=6,d=3,
∴an=6+3(n-1)=3n+3.
∴a8=3×8+3=27.
(2)∵a4=10,a10=4,∴d===-1,
∴an=a4+(n-4)×(-1)=-n+14,
∴a7=-7+14=7.
(3)∵a2=12,d=-2,∴a1=a2-d=12-(-2)=14,
∴an=14-2(n-1)=16-2n=-20,∴n=18.
(4)∵a7=a1+6d=a1-12=,∴a1=.
【例2】(1)答案:6
解析:由题意得
∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,∴=6.
(2)证明:∵,,成等差数列,
∴=+,即2ac=b(a+c).
∵+=====,
∴,,成等差数列.
【跟踪训练】
2.解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,
∴b是-1与7的等差中项,
∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,
∴a==1.
又c是3与7的等差中项,
∴c==5.
∴该数列为:-1,1,3,5,7.
【例3】解:(1)数列是等差数列,理由如下:
∵a1=2,an+1=,∴==+,
∴-=,
即是首项为=,公差为d=的等差数列.
(2)由(1)可知=+(n-1)d=,∴an=.
【多维探究】
1.解:(1)证明:bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==,
∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
(2)由(1)知bn=+(n-1)×=n.
∵bn=,
∴an=+2=+2.
∴数列{an}的通项公式为an=+2.
2. 解: (1)证法一:=(n>1,n∈N*)
∴an-1(1-2an)=an(2an-1+1)(n>1,n∈N*),
即an-1=an(4an-1+1)(n>1,n∈N*),
∴an=(n>1,n∈N*),
∴==4+(n>1,n∈N*),
∴-=4(n>1,n∈N*),
∴数列是等差数列且公差为4,首项为5.
证法二:当n>1,n∈N*时,= = -2=2+ -=4,且=5.
∴是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)由(1)及等差数列的通项公式得
=5+(n-1)×4=4n+1,∴an=.
达标检测
1.答案:A
解析:等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以化成an=dn+(a1-d).
对比an=-3n+5.故公差为-3.故选A.
2.答案:C
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
则由a2=2,a5=8,得解得a1=0,d=2,
所以a9=a1+8d=16.故选C.
3.答案:
解析:===.
4.解:由题意得∴
解得∴an=2+(n-1)×2=2n.
故数列{an}的通项公式为an=2n.