人教A版（2019）数学选择性必修二册 4.3.1等比数列的概念 导学案（含答案）

4.3.1　等比数列的概念 (1)
【学习目标】
1.理解等比数列的概念
2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用
3.熟练掌握等比数列的判定方法
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P27～31，思考并完成以下问题
(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
(2)等比数列的通项公式是什么？
(3)等比中项的定义是什么？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)
(3)常数列一定为等比数列． (　　)
(4)任何两个数都有等比中项． (　　)
2．下列数列是等比数列的是(　　)
A．3，9，15，21，27　 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．，，，， D．4，－8，16，－32，64
3．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　 B．－1　　　　 C．±1　　　　 D．2
4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________.
三、新知探究
1．等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
2.等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
四、题型突破
题型一 等比数列通项公式的基本运算
【例1】　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【反思感悟】
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
【跟踪训练】
1．在等比数列{an}中，
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
题型二　等比中项及应用
【例2】　已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．
[思路探究]　根据已知条件列出方程组求解出a1，q，再分别求出a5，a7，最后按照等比中项的概念求出等比中项．
【反思感悟】
等比中项应用的三点注意
1 由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
2 在一个等比数列中，从第2项起，每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项和后一项的等比中项.
3 a，G，b成等比数列等价于G2＝ab ab>0 .
【跟踪训练】
2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题型三　等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．根据等比数列的定义可知．
【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
【多维探究】
1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求出{an}的通项公式．
2．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
【反思感悟】
有关等比数列的判断证明方法
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 a＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
五、达标检测
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)
A．an＝n　　　　 B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24 B．0
C．12 D．24
3．在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为________数列(填“递增”或“递减”)．
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.
六、本课小结
1．等比中项与等差中项的区别
(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．
(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个．
2.证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2) {an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*) {an}为等比数列．
参考答案
课前小测
1．[提示]　
(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；
(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；
(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：D
解析：A、B、C均不满足定义中＝q，只有D满足＝－2.故选D.
3．答案：C
解析：设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.
4．答案：B
解析：∵a1，a3，a4成等比数列．
∴a1a4＝a，即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，
∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.故选B.
5．答案：8
解析：由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2.
又a1＝2，∴a3＝2×22＝8.
题型突破
【例1】解：设首项为a1，公比为q.
(1)法一：因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32，
又an＝1，∴32×＝1.
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
【跟踪训练】
1．解：(1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n－1＝128，
∴2n－1＝32，
∴n－1＝5，n＝6.
(2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝＝＝5.
(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比q为2或－2，
对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
【例2】解：设该等比数列的公比为q，
∵
∴
1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
②÷①得q(1－q)＝ q＝，
∴a1＝＝＝96.
设G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3.
【跟踪训练】
2．证明：因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
【例3】解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
【多维探究】
1．解：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
2．证明：∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
达标检测
1．答案：C
解析：只有C具备an＝cqn的形式，故应选C.
2．答案：A
解析：由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，
解得x＝－3或x＝－1(舍去)．
所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，
故选A.
3．答案：递增
解析：由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列．
4．答案：4n－1
解析：由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.
5．解：由a5≠a7知等比数列{an}的公比q≠1，设其通项公式为an＝c·qn.
由已知得解得q2＝，
∵an＞0，∴
∴an＝256×＝.