人教A版（2019）数学选择性必修二册4.3.2等比数列的前n项和公式 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修二册4.3.2等比数列的前n项和公式 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 14:41:37 | ||
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文档简介
4.3.2 等比数列的前n项和公式(1)
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求． ( )
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． ( )
(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝． ( )
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．3 B．4 C． D．
3．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－，则＝________.
5．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
三、新知探究
1．等比数列前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
[提示] 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
2．错位相减法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
四、题型突破
题型一 等比数列基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
【反思感悟】
1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
【跟踪训练】
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】 借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
[思路探究] 解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
【反思感悟】
解数列应用题的具体方法步骤
1 认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少.
②弄清题目中主要的已知事项.
2 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
3 将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
【跟踪训练】
2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？
题型三 错位相减法求和
[探究问题]
1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝264－1.
2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
3．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
【例3】 设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
(1)求和的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
[思路探究] (1)根据等差和等比条件列方程组求解两数列的通项公式．
(2)由cn＝，利用错位相减法求和，再观察和证明不等式．
【多维探究】
1．本例题(2)中设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′.
2．本例题中设dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn.
【反思感悟】
错位相减法的适用条件及注意事项
若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.
五、达标检测
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( )
A．93 B．－93 C．45 D．－45
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝( )
A．10 B．9
C．－8 D．－5
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
六、本课小结
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，数列{cn}满足cn＝anbn，则{cn}的前n项和为
Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn
＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn， ①
qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbn＋1. ②
①－②得
(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋－anbn＋1，
∴Sn＝＋.
参考答案
课前小测
1．提示：(1)和(3)中应注意q＝1的情况．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．答案：C
解析：已知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
3．答案：C
解析：当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
4．答案：
解析：∵q＝－≠1，∴＝·＝1＋q5＝1＋5＝1－＝.
5．答案：11(1.15－1)a
解析：去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.
题型突破
【例1】解： (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝＝.
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
【跟踪训练】
1．解： 当q＝1时，由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
当q≠1时，由5S2＝4S4知＝，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)．
解得1＋q2＝，即q＝±.
【例2】解：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，
则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝.
∵1.016≈1.061，∴a≈≈1 739.
故每月应支付1 739元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝.
以下解法同法一，得a≈1 739，故每月应支付1 739元．
【跟踪训练】
2．解：余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16.
设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5＝a·＝10a(1.16－1)．
由105×1.16＝10a(1.16－1)得
a＝≈22 960(元)．
∴每年年底应支付22 960元.
【例3】解： (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0.
由题意，得解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.
(2)∵cn＝＝＝，设数列的前n项和为Sn，
∴Sn＝＋＋＋…＋， ①
∴Sn＝＋＋…＋＋， ②
∴①－②得：Sn＝－
＝－＝1－－，
∴Sn＝2－－，
又∵n∈N*，∴>0，>0，
∴Sn＝2－－<2，
即c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
【多维探究】
1．解：由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，
两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.
2．解：由题意可得：
Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，
Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×
＝－－，
所以Tn＝3－－＝3－.
达标检测
1．答案：A
解析：S5＝＝＝93.
2．答案：A
解析：设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.
因为a4≠0，∴27＋q3＝0，则q＝－3，故＝＝1＋q2＝1＋9＝10.
3．答案：D
解析：∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝21－1＝21－1，
故an＝2n－1，a＝4n－1.∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．答案：510
解析：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，
而q为整数，所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510.
5．解：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求． ( )
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． ( )
(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝． ( )
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．3 B．4 C． D．
3．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－，则＝________.
5．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
三、新知探究
1．等比数列前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
[提示] 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
2．错位相减法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
四、题型突破
题型一 等比数列基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
【反思感悟】
1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
【跟踪训练】
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】 借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
[思路探究] 解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
【反思感悟】
解数列应用题的具体方法步骤
1 认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少.
②弄清题目中主要的已知事项.
2 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
3 将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
【跟踪训练】
2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？
题型三 错位相减法求和
[探究问题]
1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝264－1.
2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
3．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
【例3】 设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
(1)求和的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
[思路探究] (1)根据等差和等比条件列方程组求解两数列的通项公式．
(2)由cn＝，利用错位相减法求和，再观察和证明不等式．
【多维探究】
1．本例题(2)中设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′.
2．本例题中设dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn.
【反思感悟】
错位相减法的适用条件及注意事项
若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.
五、达标检测
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( )
A．93 B．－93 C．45 D．－45
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝( )
A．10 B．9
C．－8 D．－5
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
六、本课小结
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，数列{cn}满足cn＝anbn，则{cn}的前n项和为
Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn
＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn， ①
qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbn＋1. ②
①－②得
(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋－anbn＋1，
∴Sn＝＋.
参考答案
课前小测
1．提示：(1)和(3)中应注意q＝1的情况．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．答案：C
解析：已知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
3．答案：C
解析：当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
4．答案：
解析：∵q＝－≠1，∴＝·＝1＋q5＝1＋5＝1－＝.
5．答案：11(1.15－1)a
解析：去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.
题型突破
【例1】解： (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝＝.
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
【跟踪训练】
1．解： 当q＝1时，由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
当q≠1时，由5S2＝4S4知＝，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)．
解得1＋q2＝，即q＝±.
【例2】解：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，
则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝.
∵1.016≈1.061，∴a≈≈1 739.
故每月应支付1 739元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝.
以下解法同法一，得a≈1 739，故每月应支付1 739元．
【跟踪训练】
2．解：余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16.
设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5＝a·＝10a(1.16－1)．
由105×1.16＝10a(1.16－1)得
a＝≈22 960(元)．
∴每年年底应支付22 960元.
【例3】解： (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0.
由题意，得解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.
(2)∵cn＝＝＝，设数列的前n项和为Sn，
∴Sn＝＋＋＋…＋， ①
∴Sn＝＋＋…＋＋， ②
∴①－②得：Sn＝－
＝－＝1－－，
∴Sn＝2－－，
又∵n∈N*，∴>0，>0，
∴Sn＝2－－<2，
即c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
【多维探究】
1．解：由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，
两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.
2．解：由题意可得：
Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，
Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×
＝－－，
所以Tn＝3－－＝3－.
达标检测
1．答案：A
解析：S5＝＝＝93.
2．答案：A
解析：设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.
因为a4≠0，∴27＋q3＝0，则q＝－3，故＝＝1＋q2＝1＋9＝10.
3．答案：D
解析：∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝21－1＝21－1，
故an＝2n－1，a＝4n－1.∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．答案：510
解析：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，
而q为整数，所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510.
5．解：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.