人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_1数列的概念(1)课时精练（含答案）

4.1数列的概念(1)
一、常考题型
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是(　　)
A．①　　　　B．①②　　　C．③④　　　D．②④
2．下列说法正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
3．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
4．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
5．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，________，，，…；
(2)，________，，，，…；
(3)2,1，________，，…；
(4)，，________，，….
7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
二、易错专项
9．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)
A. B．5
C．6 D.
10．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
三、难题突破
11．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
参考答案
1．A
解析：结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．D
解析：数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
3．C
解析：已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
4．答案：an＝
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得
an＝
5．答案：9
解析：由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N*，∴n≤9.
6．解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号
1　2　 3　　　4 　 　 5　 6
↓　↓　↓　　 ↓　 　 ↓　↓
　　　________　　
于是应填，而分子恰为10减序号，
故应填，通项公式为an＝.
(2)＝，
＝，
＝，
＝.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填，
通项公式为an＝.
(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.
(4)先将原数列变形为1，2，________，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝n＋.
7．解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得
解得
∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝.
8．解：(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
所以n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
二、易错专项
9．B
解析：a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132
＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
10．答案：
解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
11．解：(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
又n∈N*，∴0<1－<1，
∴0(4)令∴∴
∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.