人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_2_1等差数列(1)课时精练（含答案）

4.2.1　等差数列 (1)
一、常考题型
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 　B．3
C．－2 D．－3
2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　)
A．50 B．51
C．52 D．53
3．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　)
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
4．数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1，则a2 017的值是(　　)
A．1 007 B．1 008
C．1 009 D．1 010
5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的(　　)
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，)都在直线x－y－＝0上，则an＝________.
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
二、易错专项
9．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　)
A．p＋q　　　　　　　　 　B．0
C．－(p＋q) D.
10．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
三、难题突破
11．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．
参考答案
1．C
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
2．D
解析：依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
3．C
解析：由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
4．D
解析：由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，
所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝，
所以an＝2＋(n－1)＝，
所以a2 017＝＝1 010.
5．C
解析：an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
6．答案：3n2
解析：由题意得－＝，
所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，
所以＝n，an＝3n2.
7．答案：3n
解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
8．解：数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝(常数)．
所以是以＝为首项，公差为的等差数列．
9．B
解析：∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
10．解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，
∴＝＋1(n≥2，且n∈N*)，
即－＝1(n≥2，且n∈N*)，
∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，
∴an＝·2n.
11．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
(2)∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．
∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差数列．