人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_3_1等比数列的概念 (1)课时精练（含答案）

4.3.1等比数列的概念 (1)
一、常考题型
1．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B．－1
C．±1 D．2
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
7．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000，求这四个数．
二、易错专项
9．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　)
A. B.
C. D.
10．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
三、难题突破
11．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
参考答案
1．C
解析：设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．D
解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．B
解析：∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．C
解析：∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．A
解析：设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．答案：(－2)n或－2n
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
7．答案：28
解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，
∴＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.
∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.
8．解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有
·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
∴这四个数分别为m,16,20，n，
∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
9．C
解析：第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
10．答案：an＝3·(－1)n－1
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
11．解：
(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N*.∴＝3，
∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．
∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.