人教A版（2019）数学选择性必修第二册 4_3_2等比数列的前n项和公式(1)课时精练（含答案）

4.3.2　等比数列的前n项和公式(1)
一、常考题型
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝(　　)
A．－2 B．－1
C． D．
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　)
A．或5 B．或5 C． D．
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
8．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.
二、易错专项
9．(多选)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是(　　)
A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
C．n个内切圆的面积和为π
D．n个内切圆的面积和为3π
10．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
三、难题突破
11．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
参考答案
1．C
解析：在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.
2．C
解析：∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，
∴a1a2＝8，
∵ ＝q2＝
∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列．
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．
3．B
解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，
即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，
将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B.
4．C
解析：设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.
5．B
解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，
则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故选B.
6． 2n－1－
解析：由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1，
∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.
7．6
解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
8．解：(1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.
∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，
∴3a2＝12，∴a2＝4.
又2a1，a2，a3＋1成等比数列，
∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，
∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.
(2)bn＝＝＝(3n－2)×，
∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×. ①
①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×. ②
①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×
＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，
∴Tn＝－×－×＝－×.
9．BC
解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC.
10．1　121
解析：由于解得
由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，
所以Sn＋1＋＝3，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.
11．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0.
由题意得
消去x1得3q2－5q－2＝0.
因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2. ①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1. ②
①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.