人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_1_1变化率问题课时精练（含答案）

5.1.1变化率问题
一、常考题型
1．函数f (x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　)
A．3　　 B．2　　　　C．1　　　　D．4
2．已知一直线运动的物体，当时间从t变到t＋Δt时物体的位移为Δs，那么 为(　　)
A．时间从t变到t＋Δt时物体的速度
B．在t时刻该物体的瞬时速度
C．当时间为Δt时物体的速度
D．时间从t变到t＋Δt时物体的平均速度
3．若函数f (x)在x0处有定义，则 的结果(　　)
A．与x0，h均无关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均有关
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　)
A．④ B．③
C．② D．①
5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　　)
A．800 m/s B．600 m/s
C．200 m/s D．400 m/s
6．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)
7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
8．若一物体的运动时间t(单位：s)与位移s(单位：m)的函数关系式为s＝求此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度．
二、易错专项
9．已知函数f (x)在x0处的导数为1，则 等于(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
10．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H (H为常数)其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)．那么t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的________．
三、难题突破
11．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大．
参考答案
1．B
解析：由已知得：＝3，
∵m－1≠0，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
2．B
解析：表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度，从而 表示在t时刻该物体的瞬时速度．选B.
3．B
解析：根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系．
4．B
解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
5．A
解析：位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，
∴ ＝ ＝at0，
已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
6．＞＞
解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，
＝＝kBC.又∵由图象得kOA＜kAB＜kBC
∴＞＞.
7．2
解析：物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝ ＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]
8．解：当t＝1时，s＝3t2＋2，
∴v＝ ＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2，
∴v＝ ＝ (3Δt＋12)＝12.
故此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度分别是6 m/s和12 m/s.
9．A
解析： ＝2 ＝2f ′(x0)＝2×1＝2，故选A.
10．t3
解析：＝，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致．
11．解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.
由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx即可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，
∴sin＜－，
从而有sin＜－1，
sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．