人教A版（2019）数学选择性必修第二册 5_2导数的运算(1)课时精练（含答案）

5.2导数的运算(1)
一、常考题型
1．已知函数f (x)＝，则该函数的导函数f ′(x)＝(　　)
A．　　　　 B．
C． D．2x－cosx
2．已知f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)且满足f (x)＝2x·f ′(1)＋ln x，则f ′＝(　　)
A．－2 B．e－2
C．－1 D．e
4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
5．已知函数f (x)＝aex＋x＋b，若函数f (x)在(0，f (0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知f (x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
7．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019.
二、易错专项
9．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线是(　　)
A．f (x)＝ B．f (x)＝x4
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex
10．已知f (x)＝xex，则f ′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
三、难题突破
11．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
参考答案
1．B
解析：由题意可得f ′(x)＝＝，故选B.
2．B
解析：∵f (x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f ′(x)＝3ax2＋6x，
又f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
3．B
解析：由题意得：f ′(x)＝2f ′(1)＋，令x＝1得：f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1
∴f ′(x)＝－2＋，
∴f ′＝e－2.故选B.
4．C
解析：当x＝π时，y＝2sin π＋cos π＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sin x＋cos x上．
∵y′＝2cos x－sin x，∴y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，则y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.
5．B
解析：∵f ′(x)＝aex＋1，∴f ′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f (0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.
6． 1
解析：因为f (x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f ′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f ′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
7． 25π
解析：因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝π×50＝25π.
8．解：因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝，即xn＝，
所以an＝lg＝lg(n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202.
9．BCD
解析：f (x)＝，故f ′(x)＝－＝，无解，故A排除；
f (x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点的切线为y＝x－，B正确；
f (x)＝sin x，故f ′(x)＝cos x＝，取x＝，故曲线在点的切线为y＝x－＋，C正确；
f (x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2，曲线在点的切线为y＝x＋ln 2＋，D正确．
故选BCD.
10．2e　(－4，0)
解析：f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，设点B(x0，x0e)为曲线C上任意一点．
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e (x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0e＝(x0＋1)e (a－x0)，即x－a－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.
∴a的取值范围是(－4，0)．
11．解：(1)因为y′＝2x.
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.