人教A版(2019)数学选择性必修第二册 5_3_1函数的单调性课时精练(含答案)

文档属性

名称 人教A版(2019)数学选择性必修第二册 5_3_1函数的单调性课时精练(含答案)
格式 docx
文件大小 68.3KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-03 15:21:30

图片预览

文档简介

5.3.1 函数的单调性
一、常考题型
1.已知函数f (x)=xln x,则f (x)(  )
A.在(0,+∞)上递增  B.在(0,+∞)上递减
C.在上递增 D.在上递减
2.在R上可导的函数f (x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f ′(x)>0的解集为(  )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.已知函数f (x)=2x-ln|x|,则f (x)的大致图象为(  )
A B C D
4.函数f (x)=x3+kx2-7x在区间[-1,1]上单调递减,则实数k的取值范围是(  )
A.(-∞,-2] B.[-2,2]
C.[-2,+∞) D.[2,+∞)
5.函数f (x)的定义域为R,f (-1)=2,对任意x∈R,f ′(x)>2,则f (x)>2x+4的解集为(  )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
6.已知函数f (x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则实数a的取值范围是________.
7.若函数f (x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
8.已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h′(x)的图象如图所示,f (x)=6ln x+h(x).
(1)求函数f (x)的解析式;
(2)若函数f (x)在区间(1,m+)上是单调函数,求实数m的取值范围.
二、易错专项
9.(多选题)下列命题为真命题的是(  )
A.>ln 2 B.ln 2<ln
C.ln 2< D.2>5
10.已知函数f (x)=+aln x+x,且曲线y=f (x)在点P(1,f (1))处的切线与直线y=-2x+2平行,则a=________,函数的单调增区间是________.
三、难题突破
11.已知函数f (x)=ax2+2x-ln x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f (x)的单调区间;
(2)若函数f (x)存在单调增区间,求实数a的取值范围.
参考答案
1.D
解析:函数的定义域为(0,+∞),求导函数,可得f ′(x)=1+ln x,
令f ′(x)=1+ln x=0,可得x=,
∴0<x<时,f ′(x)<0;x>时,f ′(x)>0.
∴在上递减,在上递增.故选D.
2.B
解析:当x>0时,x·f ′(x)>0 f ′(x)>0 函数单调递增;
根据图形知,x>1或x<-1 x>1;当x=0时,不成立;
当x<0时,x·f ′(x)>0 f ′(x)<0 函数单调递减;
根据图形知,-1<x<1 -1<x<0.
综上所述:x∈(-1,0)∪(1,+∞),故选B.
3.A
解析:当x<0时,f (x)=2x-ln(-x),f ′(x)=2-·(-1)=2->0,所以f (x)在(-∞,0)单调递增,则B、D错误;
当x>0时,f (x)=2x-ln x,f ′(x)=2-=,则f (x)在单调递减,单调递增,所以A正确,故选A.
4.B
解析:∵f (x)=x3+kx2-7x,∴f ′(x)=3x2+2kx-7,
由题意可知,不等式f ′(x)≤0对于任意的x∈[-1,1]恒成立,
所以解得-2≤k≤2.
因此,实数k的取值范围是[-2,2].故选B.
5.B
解析:依题意可设g(x)=f (x)-2x-4,所以g′(x)=f ′(x)-2>0.
所以函数y=g(x)在R上单调递增,又因为g(-1)=f (-1)+2-4=0.
所以要使g(x)=f (x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需要x>-1,故选B.
6.[-,]
解析:f ′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为0,
Δ=4a2-12≤0 -≤a≤.即a的取值范围是[-,].
7.
解析:因为f (x)定义域为(0,+∞),又f ′(x)=4x-,
由f ′(x)=0,得x=.当x∈时,f ′(x)<0;当x∈时f ′(x)>0.
据题意,k-1<<k+1,k-1≥0,解得1≤k<.
8.解:
(1)由已知,h′(x)=2ax+b,
其图象为直线,且过(0,-8),(4,0)两点,把两点坐标代入h′(x)=2ax+b,
∴解得
∴h(x)=x2-8x+2,h′(x)=2x-8,
∴f (x)=6ln x+x2-8x+2.
(2)∵f ′(x)=+2x-8=(x>0).
∴当x变化时,f ′(x),f (x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
f ′(x) + 0 - 0 +
f (x) ↗ ↘ ↗
∴f (x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),
f (x)的单调递减区间为(1,3).
要使函数f (x)在区间上是单调函数,
则解得<m≤.
即实数m的取值范围为.
9.ABC
解析:构造函数f (x)=,导数为f ′(x)=,
当0<x<e时,f ′(x)>0,f (x)递增;当x>e时,f ′(x)<0,f (x)递减.
因为32>23,因为y=ln x在定义域上单调递增,所以ln 32>ln 23,所以2ln 3>3ln 2,所以>ln 2,故A正确;
∵e>>2,∴f >f (2),∴>,ln>ln 2,故B正确;
∵f (2)<f (e)=,∴<,即ln 2<,故C正确;
∵e>>2,∴f ()>f (2),∴>,∴2ln>ln 2,
∴ln()2>ln(2),∴5>2,故D错误.
故选ABC.
10.-1 (2,+∞)
解析:∵f (x)=+aln x+x,定义域为(0,+∞),
f ′(x)=-++1=,
由题知f ′(1)=a-1=-2,解得a=-1,
这时f ′(x)=,则f ′(x)=0,得x1=2或x2=-1(舍),
令f ′(x)>0,即x2-x-2>0且x>0,得x>2,
所以函数y=f (x)的递增区间为(2,+∞).
11.解:(1)当a=3时,f (x)=x2+2x-ln x,其定义域为(0,+∞).
∴f ′(x)=3x+2-=.
令f ′(x)<0,得0<x<,令f ′(x)>0,得x>,
∴函数f (x)的减区间为,增区间为.
(2)∵f (x)=ax2+2x-ln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),
∴f ′(x)=ax+2-=(a∈R).
若函数f (x)存在单调增区间,则f ′(x)>0在区间(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在区间(0,+∞)上有解.
分离参数得a>,令g(x)=,则依题意,只需a>g(x)min即可.
∵g(x)==-1,
∴g(x)min=-1,
∴a>-1,
即所求实数a的取值范围为(-1,+∞).