数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2函数的奇偶性（共55张ppt）

(共55张PPT)
对称是大自然的一种美
中心对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称，这个点称作该中心对称图形的对称中心.（把图形沿对称中心旋转180o，旋转后与原来的图形完全重合）
轴对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称，这条直线称作该轴对称图形的对称轴. （把图形沿对称轴对折，对称轴两侧的图形完全重合）
前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质.
观察函数f(x)= x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？
f(x)=x2
g(x)=2-|x|
这两个函数的图像都关于y轴对称.
类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？
探究
3.2.2函数的奇偶性
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.
3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
学习目标
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)= x2
g(x)=2-|x|
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.
9 4 1 0 1 4 9
-1 0 1 2 1 0 -1
类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？
探究
例如,对于函数f(x)= x2,有：
实际上,对于 x∈R,都有：
f(-x) = f(x)
这时候,我们称函数f(x)= x2为偶函数.
对于函数g(x)= 2-|x|,有：
实际上,对于 x∈R,都有：
g(-x)=g(x)
我们称函数g(x)= 2-|x|为 偶函数.
偶函数的定义
f(-x)-f(x) =0
f(- |x|)=f(|x|)
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？
函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
是偶函数
不是偶函数
偶函数 f(x)
x∈D，f(－x)=f(x)
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
探究
观察函数 的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？
这两个函数的图像都关于原点成中心对称.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)= x
为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.
-3 -2 -1 0 1 2 3
实际上,对于 x∈R,都有：
f(-x) = - f(x)，
我们称函数f(x)= x为奇函数.
例如,对于函数f(x)= x,有：
对于函数 ,有：
对于 ,都有：
我们称函数 为奇函数.
奇函数的定义
（ f(-x)+f(x) =0）
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数.
函数f(x)=x, x∈[-2,2]是奇函数吗？
是奇函数
函数g(x)=x, x∈[-1,3]是奇函数吗？
不是 奇函数
x∈D，f(－x)= －f(x)
奇函数 f(x)
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
f(-x)+f(x) =0
说明
①由定义可知，奇偶函数定义域关于原点对称
即判断函数的奇偶性先求定义域
若定义域关于原点对称，再按照定义判断
若定义域不关于原点对称则函数不具奇偶性
②若f(x)是奇函数且在x=0处有定义则
f(0)=0且图像过原点
例6 用定义判断下列函数的奇偶性：
例6 判断下列函数的奇偶性：
例6 判断下列函数的奇偶性：
求函数f(x)的定义域
f(x)既不是奇函数也不是偶函数
判断f(-x)与f(x)的关系
判断定义域是否关于原点对称？
f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x)
是
否
f(-x)= f(x)
f(x)是偶函数
f(x)是奇函数
f(-x)= -f(x)
定义法判断函数奇偶性的步骤
f(x)既是奇函数 也是偶函数
f(-x)= f(x)= - f(x)
思考：
奇偶函数的性质
(1).奇函数的图象关于原点对称.
偶函数的图象关于y轴对称.
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
A、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.
反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.
(2).奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性.
偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性.
O
x
y
奇、偶函数的图象及应用
　　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
例2
由题意作出函数图象如图.
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
反思感悟
利用函数的奇偶性求值
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a
＝____，b＝____.
例3
0
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
7
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
反思感悟
(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函 数，则m的值是
A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　D.1
跟踪训练3
√
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
－1
（3）.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是_____.
0
课堂小结
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
求函数f(x)的定义域
f(x)既不是奇函数也不是偶函数
判断f(-x)与f(x)的关系
判断定义域是否关于原点对称？
f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x)
是
否
f(-x)= f(x)
f(x)是偶函数
f(x)是奇函数
f(-x)= -f(x)
定义法判断函数奇偶性的步骤
f(x)既是奇函数 也是偶函数
f(-x)= f(x)= - f(x)
奇偶函数的性质
(1).奇函数的图象关于原点对称.
偶函数的图象关于y轴对称.
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
A、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.
反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.
(2).奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性.
偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性.
O
x
y
第2课时　奇偶性的应用
第三章　3.2.2　奇偶性
学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
根据函数奇偶性求函数的解析式
一
解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
例1
解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
①
②
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，
求函数f(x)，g(x)的解析式.
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
反思感悟
利用函数奇偶性与单调性比较大小
二
　　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是
A.f(－0.5)C.f(0)例2
√
∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(－1)比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
反思感悟
　　　（1）设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)跟踪训练2
√
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2).
（2）
利用函数的单调性与奇偶性解不等式
三
　　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)例3
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减.
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.
反思感悟
　　　（1）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则　　<0的解集为________________.
跟踪训练3
∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，
解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，
解得－33}.
{x|－33}
课堂
小结
1.知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
（1，—2）