人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 第五章《一元函数的导数及其应用》知识归纳 课件（共55张PPT）

(共55张PPT)
人教A版同步教材名师课件
导数及其应用
知识图谱
综合归纳
专题1 导数中的常见题型
一、曲线的切线
导数的几何意义是高考的常考内容，主要有以下几个命题角度：（1）求切线方程（斜率）；（2）已知切线方程（或斜率）求切点、参数的值或曲线方程等.
利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一种是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率，代入直线方程即可；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q（x1，y1），则切线方程为 ,再由切线过点 得
①
又 ②
由①②求出 的值,即可求出过点的切线方程.
例1（★★，2019安徽高三皖南八校联考）设函数设函数,若曲线在点 处的切线在轴上的截距为－2 ,在轴上的截距为2,求与的值.
思路分析 先求出 ,然后代入 ,求得 ,从而可确定切线方程,再根据切线的横纵截距求参数.
,
∴曲线在点 处的切线方程为，即 .
∵切线在轴上的截距为 .
又切线在轴上的截距为－2 ,
解析
主编点评
求参数的值,关键是构造关于的方程(组),解方程即可.
即时训练
1.（★★, 江苏淮安淮海中学高三阶测)若曲线在 处的切线与直线 垂直,则实数等于___________.
∵ ,
,即曲线在 处切线的斜率为 .
又∵该切线与直线垂直,∴ .
答案
解析
二、利用导数研究函数的单调性
1.利用导数求函数单调区间的步骤
（1）求函数 的定义域;
（2）求导数 ;
（3）在定义域内解不等式和,当不等式中带有参数时,要对参数进行分类讨论;
（4）确定函数 的单调区间.
2.已知函数单调性求参数的取值范围的方法
在已知单调性的情况下，一定要根据题意，仔细分析给定条件，选择最适合的方法求解.在实际解题过程中，常用的方法是根据单调性转化为不等式恒成立问题，进而利用参数分离法及最值法求解.
例2（★★，2018安徽滁州期末）已知函数在[-2,2]上的最大值为5,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路分析 求导→判断单调性→分析最大值→解不等式→得 的范围.
当时, .
当时, ,当时, .
又 当
时,，要满足当 时, ，只需当 时， 即可.
解析
当时, ,
①当时, 2，符合题意；
②当时, ,因此 在[-1,0]上是增函数， <2，符合题意；
③当时, , 在 上是减函数，又 ，
∴令 解得 ，则 ，
综上，实数a的取值范围是[-ln2，+∞）.
答案 D
即时训练
2.（★★）已知函数 .
（1）讨论 的单调性； （2）若≥0 ,求的取值范围.
（1）函数 的定义域为－2
①若 ,则,在 上单调递增.
②若 ,则由 得.
当 时,;
当 时, .
所以在 上单调递减,在 上单调递增.
解析
③若 ,则由得.
当时,;当 时, ,
故在 上单调递减,在 上单调递增.
（2）由（1）可知,当 时,函数 的最小值为,
因为≥0 ,所以 ,即 ;
当=0时,>0恒成立;
当<0时,函数 的最小值为 ,因为≥0 ,
所以 ,
解得 .
综上所述,的取值范围为[，1] .
三、利用导数求函数的极(最)值
1.求函数极值的步骤
（1）确定函数 的定义域;
（2）求导数;
（3）解方程=0 ,求出函数定义域内的所有根;
（4）列表检验 在 =0 的根 附近左右两侧值的符号,如果左正右负,那么在 处取极大值,如果左负右正,那么在 处取极小值.
2.求连续函数 在区间 上的最值的方法
（1）若函数 在区间 上单调递增或递减,则与 一个为最大值,一个为最小值;
（2）若函数在闭区间 内有极值,则要先求出 上的极值,再与,比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
3.已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法
根据极值和最值的关系,与最值有关的问题一般可以转化为极值问题.
已知在某点 处有极值,求参数的值(取值范围)时,应逆向考虑,可先将参数当作常数,按照求极值的一般方法求解,再依据极值与导数的关系,列等式(不等式)求解.
例3（★★）已知函数在与 处都取得极值.
（1）求函数 的解析式及单调区间;
（2）求函数在区间 上的最大值与最小值.
思路分析（1）先求导,再根据题意得 解方程组即可求出 的值,进而写出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.（2）比较函数的极值和端点函数值的大小即得函数在区间 上的最大值与最小值.
解析
（1）因为 ,所以,
由 得 解得
∴,
,令>0 ,得或 ,
令<0 ,得
函数的单调增区间是 ,单调减区间是 .
（2）由（1）可知,
-3 -2 2
＋ 0 － 0 ＋
递增 极大 递减 极小 递增 11
从而极小值 ,极大值 ,而，
所以 .
主编点评 （1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值,利用导数研究函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
（2）求连续函数在闭区间上的最值,只要比较极值和端点函数值的大小.
即时训练
3.（★★,2019皖中名校联盟高三10月联考） 函数 .
（1）求曲线在点 处的切线方程;
（2）求函数在区间 上的最值.
解析
（1） + 1
在点处的切线方程为 .
（2）令 + 1(x∈ )，
恒 + + =2 ≥0成立,
∴函数 在 上单调递增,即 在 上单调递增,
∴当 时,单调递减,
当 时,,单调递增,
∴.
∵ = >0，
∴ ，∴＝ .
四、利用导数解决不等式恒成立及存在性问题
利用导数研究不等式恒成立和存在性问题，可先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可先分离参数，构造函数，进而把问题转化为函数的最值问题.
例4（★★）已知.
（1）求 的单调区间;
（2）当2时,求证: 恒成立.
思路分析（1）求 的定义域和导数→令>0 ,解得 的增区间→
令<0 解得的减区间
（2）令=并求导→判断的单调性→证明 时的<0
（1） ,
当>0 时, ,解得 ;
当<0时, ,解得 ,
所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 .
解析
（2）证明:当时,.
令 ,
则,
令 ,即 ,解得 或 (舍).
易知当 时,<0,在 上单调递减.
∴ ,即 .
即时训练
4.（★★）已知函数 .
（1）当 时, e]使不等式成立,求实数的取值范围;
（2）若在区间 上,函数 的图象恒在直线的下方,求实数的取值范围.
（1）当时, ，
可知当 e]时,为增函数,最小值为 .
因为 e]使不等式成立,所以 在e] 上的最小值小于或等于,故实数的取值范围是 .
解析
（2）在区间 上,函数的图象恒在直线的下方等价于对任意 ，即 在 上恒成立.
设,则 恒成立.
易知 ,
①当时, ，
为减函数,
∴ ,由题意知,
②当时,为增函数,
当时,,故此时不满足条件.
③当 时,在 上为减函数,在 上为增函数,
同样,当时, ,不满足题意.综上,实数的取值范围是 .
五、利用导数研究函数零点问题
利用导数研究函数零点问题，主要有两种方法
1.直接法：直接求导分析函数的单调性与极值、最值，画出函数的草图，利用根的个数判断函数图象与x轴的交点个数，从而确定最值的范围，进而求得参数的范围.
2.分离变量法：先将函数中的参数分离出来，将根的个数问题转化为直线y＝a与新函数图象交点个数问题，从而转化为利用导数研究新构造的函数的单调性与极值问题（此时函数无参数，易于讨论）.
例5（★★，福建莆田一中高三月考）已知函数 .
（1）当=e时,求 的单调区间;
（2）若有两个零点,求实数的取值范围.
思路分析（1）直接求导,导数大于0求得函数 的增区间,导数小于0求得函数 的减区间.（2）令 ,则=,再令= .在 上有两个零点等价于= 在 上有两个零点.通过讨论 的情况求出参数的取值范围.
（1） 的定义域为 ,当时, ，
,令>0 ,解得>1,令<0,解得 在 上为减函数;在 上为增函数.
解析
（2）令,则 在 上单调递增,且 ,
∴=，令=.
∴在 上有两个零点等价于= 在上有两个零点.
（1）当时, =在上递增,且>0 ,故 无零点;
（2）当 时, = 在上单调递增,
又,故 在上只有一个零点;
（3）当 时,由==0 ,
可知时,为减函数;
时, 为增函数,
∴在 时有唯一的一个极小值 .
若e,则无零点;
若e ,则0,只有一个零点;
若e ,则 ,而 ,
由于 在e 时为减函数,可知当e时, .
从而 >0 ,
∴在 和 上各有一个零点.
综上可知:当e 时,有两个零点,即所求的取值范围是 .
主播点评
本题主要考查函数的单调性,根据函数零点个数求参数的取值范围.本题的易错点是对实数分类不准确.换元是个特殊技巧:= = =.
即时训练
5.（★★2019皖南八校联考）已知函数 .
（1）求证:对任意 ,有 ;
（2）若 在实数集内有2个零点,求实数的取值范围.
（1）证明:∵ ,∴ .令0 ,解得0 .
当 变化时,的变化情况如下表:
解析
0
＋ 0 －
极大值1
∴ 在 内是增函数,在 内是减函数.
∴时, .
, .若,则恒成立,
∴在内单调递增,不可能有2个零点.
若 ,则由0 ,得.
令 ,得 ;令 ,得 .
∴在 内单调递减,在 内单调递增,由题意,则 ,∴ ，∴ .
证明如下:时,有2个零点,
由 及单调性知 在 内有1个零点.
∵时, ,∴ ,
取 ,则 ,
+1 2（ ）2[]1.
由（1）知 ≥1>,取 ,
则> ,
由的单调性知 在
内有1个零点,∴有2个零点时, .
六、利用导数证明不等式
利用导数证明不等式的思路
1.我们知道函数在某个区间上的导数值大于（小于）0时，该函数在该区间上单调递增（减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后利用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性.
2.导数可用于求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值，从而推出不等式恒成立，即把证明不等式问题转化为求函数的最值问题.
例6（★★）已知函数 .
（1）若在 上存在极值,求实数的取值范围;
（2）求证:当时, .
（1）由题知 ,令 0,得 ;令 0 ,得，∴在（0,1）上单调递增;在（1，+∞）上单调递减.
故是函数的极大值点,又 在 上存在极值,
∴,即 ,故实数的取值范围是 .
解析
（2）证明:要证 ,即证 ，
令 ,则,
再令 ,则 .
当时,在（1，+∞） 上是增函数,
∴在 （1，+∞）上是增函数,
∴当 时,> ,令= ,
则 =2 = .
∵当 时, <0,∴ <0，即 在（1，+∞） 上是减函数,
∴当时, < = ,∴ >，即 >.
主编点评
利用导数证明不等式常见的解题策略:（1）构造差函数 .根据差函数的导函数符号,确定差函数的单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
即时训练
6.（★★，四川高三诊断性测试）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程;
（2）设 ,证明: .
（1）由题意易得 , ,所以 ,
因此 在点 处的切线方程为 ,即 .
（2）证明:因为 ,所以.
由于 ，
等价于 ，
解析
令 ,则.设函数 ,
,
当 时, ,所以 ,
所以在 上是增函数,又 ,所以,
所以 ,即 .①
等价于
令 ,则 .设函数
当 时, ,所以 ,所以在（1，+∞） 上是减函数,
又 ,所以 ,所以 ,
即 .②
综合①②可得: .
七、导数与生活中的优化问题
解决生活中的优化问题时，一般要注意以下几点：
（1）在求实际问题中的最大（小）值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去.例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数.
（2）在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域.
（3）得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题.
例7（★★★）某旅游景点预计2019年1月份起前个月的旅游人数的和(单位:万人)与 的关系近似地满足 ,且 .已知第个月的人均消费额 (单位:元)与的近似关系是
（1）写出2019年第个月的旅游人数 (单位:万人)与的函数关系式;
（2）问2019年第几个月旅游消费总额最大 最大月旅游消费总额为多少元
解析
（1）当=1时,,当 ,且 时,
验证=1也满足此式,所以,且 .
（2）第个月旅游消费总额(单位:万元)为
即
（i）当 ,且时,
令0 ,解得 或 (舍去).
当 时,0 ,当 时,0 ,
∴当时,.
（ii）当 ,且 时,是减函数,
∴当时,.
综上,2019年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元.
即时训练
7.（★★★）某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产万件,需另投入流动成本 万元,当年产量小于7万件时,(万元);当年产量不小于7万件时, (万元).已知每件产品售价为6元,假如该同学生产的产品全部售完.
（1）写出年利润 (万元)关于年产量(万件)的函数解析式;
（注:年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
（2）当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取≈20 )
（1）每件产品售价为6元,则万件产品销售收入为 万元.
依题意得,当 时, .
当时,.
∴
解析
（2）当 时,,
∴当 时, 取最大值,最大值为＝10 .
当时,, = ,
∴当 时,>0 ,函数 单调递增;
当 时,<0 ,函数 单调递减.
∴当时,取最大值,最大值为=15 ln 1=11 (万元).
∵11>10 ，
∴当≈20 时, 取得最大值11万元,
即当年产量约为20万件时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
专题2 常考重要函数模型
1.型
求导: 令0，得函数有极值点 .
它的图象和性质如下:
符号
图象
定义域 单调性
最值
2.型
求导:令0 ,得函数有极值点,其中 .
当时,>0 ,函数在R 上单调递增.它的图象和性质如下:

图象
定义域 R 单调性 在R上单调递增 在 上单调递减，在 上单调递增
值域 R
过定点 （0,1） 3. ,型
求导:∵ ,令0 ,得 有极值点1.
= ，令0 ,得 有极值点1 .
,
令0 ,得有极值点1 .它们的图象和性质如下:
函数
图象
x→+∞时，图象无限靠近x轴 x→-∞时，图象无限靠近x轴，x→0（从右侧）时，图象无限靠近y轴正半轴，x→0（从左侧）时，图象无限靠近y轴负半轴 x→-∞时，图象无限靠近x轴
定义域 R {x|x≠0} R
单调性 在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 在（-∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 在（-∞，-1）上单调递减，在
（-1，+∞）上单调递增
值域
4.
求导:.令0 ,得有极值点 .
.令0 ,得 有极值点e .
.令0 ,得有极值点e .
它们的图象和性质如下:
函数
图象
定义域
单调性 在（0，1），（1,e）上单调递减，在（e，+∞） 上单调递增
最值 在 （1，+∞）上有最小值e