人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《一元函数的导数及其应用》单元测试（二）（含解析）

《一元函数的导数及其应用》单元测试（二）
一、选择题
1.已知函数,则它的导函数是( )
A.
B.
C.
D.
2.设正弦函数在和附近的瞬时变化率为,则的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.不确定
3.函数在上( )
A.有最小值
B.是减函数
C.有最大值
D.是增函数
4.曲线在处的切线平行于直线,则的坐标为( )
A.
B.
C.或
D.或
5.已知是定义在上的函数,且,,则的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6.设,则的单调递增区间为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知实数成等比数列,且函数,当时取到极大值,则等于( )
A.
B.0
C.1
D.2
8.已知,则的最大值为( )
A.36
B.18
C.25
D.42
9.已知二次函数的导数为,且对于任意实数,有,则的最小值为( )
A.3
B.
C.2
D.
10.方程在内根的个数有( )
A.0
B.1
C.2
D.3
11.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.曲线在处的切线方程为_________.
14.,当时,_________.
15.直线与函数的图象有三个相异的公共点,则的取值范围是_________.
16.已知,函数,且的最小值是,则实数的值为_________.
三、解答题
17.设函数,其中.
(1)求的单调区间;
(2)讨论的极值.
18.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求证:当,且时,.
19.已知函数,
(1)当时,在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,若函数在区间上恰有两个不同零点,求实数的取值范围.
20.已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,若在区间上的最小值为,其中是自然对数的底数,求实数的取值范围.
21.已知函数.
(1)求函数在上的最小值;
(2)若函数与的图象恰有一个公共点,求实数的值.
22.设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点和,记过点,的直线的斜率为,问:是否存在,使得 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.答案:B
解析:.
2.答案:A
解析:0,所以.
3.答案:D
解析:∵;因为恒成立,所以在上是增函数.
4.答案:C
解析:由得切线平行于直线,解之得,当时,;当时,切点的坐标为或.
5.答案:C
解析:不等式可化为,设,则,由题意,∴函数在上单调递增,又,
∴原不等式.∴.
6.答案:C
解析:,由,由,解得或,又因为,所以.
7.答案:A
解析:,令得,当时,;当时,.
∴,∴.
8.答案:A
解析:∵.
又..令.
则.当时,,
∴或.而,.
9.答案:C
解析:由题意,得.由对任意实数,有,知图象开口向上,所以,且,所以.
因为,所以,且在处函数递增.由此知.
所以.
10.答案:B
解析:令,∴,
由得或;由得;又,
在内单调递减,
∴方程在内只有一实根.
11.答案:C
解析:显然当时,不符合题意;因为,所以;当时,令,得,则在处取得极大值,若存在唯一的零点,且,则(舍去);当时,令,得,则在处取得极小值,若存在唯一的零点,且0,则,即.
12.答案:D
解析:设,则,
由题意知:为奇函数,在上递增,,数形结合易得的解集为3),从而的解集也为.
13.答案:
解析:∵,且,
所以所求切线方程为,即.
14.答案:
解析:,令,得,
∵.
15.答案:
解析:令,得,可求得的极大值为,极小值为,
如图所示,时,恰有三个不同公共点.
16.答案:-2
解析:,所以,即,又,有,所以,故.
17.答案:见解析
解析:,
①当时恒成立,此时在上是增函数,
②当时,令得或,解得减区间为,解得增区间为.
(2)由(1)知,①当时,无极值,
②当时,极大值为,极小值为.
18.答案:见解析
解析:,
由于直线的斜率为,且过点,故即解得
(2)由(1)知,,
所以.
设函数,
则.
所以当时,,而,
所以当时,,得;
当时,,得.
故当,且时,.
19.答案:见解析
解析:(1)由在上恒成立,得在上恒成立,
令,则,故,当时,时,.故在上单调递减,在上单调递增,故当时,的最小值为.所以.
(2)由已知可知,函数在上恰有两个不同零点,相当于函数与直线有两个不同的交点,,故,
所以当时,,所以单调递减,当时,,所以单调递增.
所以,且,
所以.
所以实数的取值范围为.
20.答案:见解析
解析:(1)当时,,,
因为.所以切线方程是.
(2)函数的定义域是,当时,,
令得或,
①当,即时,在[1,]上单调递增,所以在上的最小值是,满足条件,于是;
②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以在上的最小值,不合题意;
③当,即时,在上单调递减,所以在上的最小值是,不合题意.综上所述,.
21.答案:见解析
解析:(1)令,得.
①当时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在区间上的最小值为.
②当时,函数在区间上单调递增,此时函数在区间上的最小值为.
(2)由题意得,在上有且只有一个根,即在上有且只有一个根.令,则,易知在上单调递减,在上单调递增,所以,由题意可知,若使与的图象恰有一个公共点,则.
22.答案:见解析
解析:(1)的定义域为.
令,其判别式.
①当时,,则,故在区间上单调递增.
②当时,的两根都小于0,在上,则,故在区间上单调递增.
③当时,的两根为,,
当时,,即;当时,,即单调递减;
当时,,即.
故在和上单调递增,在,上单调递减.
(2)由(1)可知当时,函数有两个极值点,.
∴,又由(1)知,,于是,若存在,使得,则,即
再由(1)知,函数在上单调递增,且,而,
这与(*)式矛盾,故不存在,使得.
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