人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 第5章一元函数的导数及其应用 达标测试卷（含解析）

第五章达标测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数，则当，时，的值为（ ）
A．0．40 B．0．41 C．0．43 D．0．44
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．不确定
3．若函数在处可导，则的值（ ）
A．与，都有关
B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关
D．与，均无关
4．已知函数的图象在点处的切线方程是，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
5.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数具有性质的是（ ）
A． B． C． D．
∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为，只有A项符合
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．若对于总有成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某产品的销售收入（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，生产成本（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，为使利润最大，应生产该产品（ ）
A．千台 B．千台 C．千台 D．千台
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）定义域是（0，+∞）
B．x∈（0，1）时，f（x）图象位于x轴下方
C．f（x）存在单调递增区间
D．f（x）有且仅有两个极值点
10．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（ ）
0 4 5
1 2 2 1
A．函数的极大值点有2个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是2，那么的最大值为4
D．当时，函数有4个零点
12．已知函数，则下列结论正确的是( )
A．是奇函数
B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若，则__________．
14．正弦曲线（）上切线的斜率等于的切点坐标为__________．
15．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，若，则的值为__________．
16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知函数的单调递增区间为，求，的值．
18．已知函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在处的切线的倾斜角．
19．已知函数，当时，有极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
20．（2019·山东日照高考模拟（文））一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？
21．（12分）设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
22.（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
第五章达标测试卷答案
(时间：120分钟　满分：150分)
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数，则当，时，的值为（ ）
A．0．40 B．0．41 C．0．43 D．0．44
【答案】B
【解析】∵，，
∴，故选B
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】∵，∴．
3．若函数在处可导，则的值（ ）
A．与，都有关
B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关
D．与，均无关
【答案】B
【解析】由导数的定义可知，，仅与有关，而与无关．故选B．
4．已知函数的图象在点处的切线方程是，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在直线上，∴，∴．
又，∴
5.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数具有性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，，
∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为，只有A项符合
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，令，得，
即函数的单调递增区间是
7．若对于总有成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当时，在内恒成立，
而当时，，
则为内的增函数，从而的最小值为，于是；
②当时，总成立；
③当时，在上恒成立，
而的导数为，令，则，
不难判断在上的最大值为，所以．综上，．
8．某产品的销售收入（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，生产成本（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，为使利润最大，应生产该产品（ ）
A．千台 B．千台 C．千台 D．千台
【答案】A
【解析】设利润为，则，
所以．令，解得（舍去）或，
经检验知既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）定义域是（0，+∞）
B．x∈（0，1）时，f（x）图象位于x轴下方
C．f（x）存在单调递增区间
D．f（x）有且仅有两个极值点
【答案】BC
【解析】∵，∴lnx≠0，∴x＞0且x≠1，
∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故A错误；
由，得f'（x）＝，令g（x）＝xlnx﹣1，则g'（x）＝lnx+1，令g'（x）＝0，
则x＝，∴当0＜x＜时，g'（x）＞0，当＜x＜1时，g'（x）＜0，
①当0＜x＜1时，g（x）＜g（）＝＜0，
即f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵x→0时，f（x）→0，∴当x∈（0，1）时，f（x）图象在x轴下方，故B正确；
②当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）＞g（1）＝﹣1，又g（2）＝2ln2﹣1＞0，
∴存在x0∈（1，2）使g（x0）＝0，
∴当1＜x＜x0时，f'（x）＜0，当x＞x0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故C正确，D错误．故选：BC．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】构造函数，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．
构造函数，导数为，
当时，，递增，时，，递减，
可得处取得最大值，
因为，因为在定义域上单调递增，所以，所以，所以，故正确；，，，，故正确；
，，即，故正确；
，，，，
，，故错误；
故选：．
11．已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（ ）
0 4 5
1 2 2 1
A．函数的极大值点有2个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是2，那么的最大值为4
D．当时，函数有4个零点
【答案】AB
【解析】观察的图象，有两个左负右正的不等零点故A正确，函数在成立，故B正确，根据条件作出的图象判断C错误，由得，利用数形结合法得到D错误.
由的图象，
当或，，
函数为增函数，
当或，，
函数为减函数，
即当时，函数取得极大值，当时，函数取得极大值，
即函数有两个极大值点，故A正确，
函数在上是减函数，故B正确，
作出的图象如图:
若时，的最大值是2，
则满足，即的最大值是5，故C错误，
由得，
若，当时，有四个根，
若，当时，不一定有四个根，有可能是2个，
故函数有4个零点不一定正确，故D错误，
12．已知函数，则下列结论正确的是( )
A．是奇函数
B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】ABD
【解析】对A, 的定义域为,且
.故A正确.
对B, ,因为是增函数故恒成立.
即恒成立.令,则,
因为,故单调递增,
又,故当时,当时.故最小值为.故.故B正确.
对C,当时由B选项知,是增函数,故不可能有2个零点.故C错误.
对D,当时,,令则有.作出的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数恰有两个极值点.故D正确.
故选：ABD
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若，则__________．
【答案】
【解析】∵，∴．故
14．正弦曲线（）上切线的斜率等于的切点坐标为__________．
【答案】或
【解析】设切点坐标为，则由题意可得，
所以，或，．故切点坐标为或．】
15．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，若，则的值为__________．
【答案】-2
【解析】曲线在点处的切线斜率
，
则曲线在点处的切线方程为．
令，得，∴，
∴】
16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为__________．
【答案】3
【解析】用料最省，即水桶的表面积最小，设圆柱形水桶的表面积为，底面半径为，则水桶的高为，所以．
求导，得．
令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知函数的单调递增区间为，求，的值．
【解析】，因为函数的递增区间为，
所以的解集为，
也就是说，和是方程的两根，即，
解得．所以，的值分别为，．
18．已知函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在处的切线的倾斜角．
【解析】（1）因为，所以．
由已知得，解得，
故．
（2）由（1）知，，则，
即曲线在处的切线的斜率等于，故其倾斜角等于．
19．已知函数，当时，有极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
【解析】（1），当时，，
由题意得，故，解得．
经检验知，符合题意，故，．
（2）由（1），得，则，令，得或．
易知是函数的极小值点，所以．
20．（2019·山东日照高考模拟（文））一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？
【解析】设速度为海里/时的燃料费是元/时，由题设的比例关系得，其中为比例系数，
由，，得，于是．
每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为时，
所以航行海里的总费用为．
所以．令，解得．
因为当时，；当时，，所以当时，取得最小值，
故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．
21．（12分）设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【解析】（1）因为，所以，
令，得，，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上可得，故．
（2）由（1）知，，．
令，解得，，
当或时，，故的单调递增区间为，；
当时，，故的单调递减区间为．
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
22.（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
【解析】(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x>0)，
则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝，
又∵φ(0)＝0.
结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0