人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 第五章《一元函数的导数及其应用》单元测试（一）（含解析）

《一元函数的导数及其应用》单元测试（一）
一、选择题
1.若,则等于( )
A.
B.
C.
D.
2.函数在点处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
3.一辆汽车按规律做直线运动,若汽车在时的瞬时速度为12,则( )
A.
B.
C.2
D.3
4.函数的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
5.函数的最大值是( )
A.1
B.
C.0
D.
6.设与是函数的两个极值点,则常数的值为( )
A.21
B.
C.27
D.
7.函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.函数,则的值为( )
A.0
B.2
C.1
D.
9.已知,对于任意实数,有,且时,,则时,( )
A.
B.
C.
D.
10.若函数在其定义域的一个子区间,内不是单调函数,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11.函数,则( )
A.在区间,内均有零点
B.在区间,内均无零点
C.在区间内无零点,在区间内有零点
D.在区间内有零点,在区间内无零点
12.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知,则______________.
14.设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直,则的坐标为______________.
15.
已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),给出以下说法:
①函数在区间上是增函数;
②函数在区间上无单调性;
③函数在处取得极大值;
④函数在处取得极小值.其中正确的说法有_____________.
16.若关于的方程在上有根,则实数的取值范围是_____________.
三、解答题
17.设函数,求函数的单调区间.
18.已知函数的极值点为1和2.
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
19.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间和极值.
20.已知,函数.
(1)当时，求函数的单调区间;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
21.已知函数.
(1)若存在最小值且最小值为2,求的值;
(2)设,若在上恒成立,求的取值范围.
22.已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;
(2)求的单调区间;(3)求证:当时,.
答案解析
1.答案:C
解析:函数是关于的函数,因此是一个常数.
2.答案:A
解析:,又,所以在点处的切线方程为,即.
3.答案:D
解析:由得,依题意,所以,得.
4.答案:A
解析:由题意知,函数定义域为,因为,由得解得.
5.答案:A
解析:,令,则(舍去)或,因为,所以在上的最大值为1.
6.答案:A
解析:由题意知,是函数的两个根,
,所以所以.
7.答案:A
解析:在上为增函数,在上变化规律是减增减,因此的图象在,上,,在上的符号变化规律是负正负.
8.答案:A
解析:∵,
9.答案:B
解析:为奇函数且时单调递增,所以时单调递增,为偶函数且时单调递增,所以时单调递减,.
10.答案:D
解析:由可知定义域为,所以.故排除、两项.又因为,令,得或(舍去在上单调递减,在上单调递增.由题意知且,得.
11.答案:C
解析:由题意得,令得3;令得得,故知函数在区间上为减函数,在区间,为增函数,在点处有极小值;又.
12.答案:B
解析:恒成立,即恒成立,设,则.当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以.所以4.故的取值范围是.
13.答案:
解析:,所以.
14.答案:
解析:,曲线在点处的切线的斜率,设的导数为,曲线在点处的切线斜率,因为两切线垂直,所以,所以,则点的坐标为.
15.答案:①④
解析:从图象上可以发现,当时,,于是,故在区间,上是增函数,故①正确;
当时,,所以函数在区间上是减函数,②错误,③也错误;
当时,在区间上是减函数,而在区间上是增函数,所以函数在处取得极小值,故④正确.
16.答案:
解析:令,则.
显然,当或时,单调递增;
当时,单调递减.
所以当时,取极大值;当时,取极小值.
因为在上有解,
所以所以所以.
17.答案:见解析
解析:,由,得.
因为当时,;当时,;当时,.
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
18.答案:见解析
解析:
由的极值点为1和2,∴的两根为1和2,
解得
(2)由(1)得,
当变化时,与的变化情况如下表:
1 2
- 0 + 0 -
-5
19.答案:见解析
解析:,,所以函数在点处的切线方程为.
(2)函数的定义域为,令,即.解得或.
当时,随变化的情况如下:
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
可知的单调减区间是,增区间是,和,极大值为,极小值为1).
20.答案:见解析
解析:当时,,
.令,即,注意到,所以,解得,所以函数的单调递增区间为.同理可得,函数的单调递减区间为和,.
(2)因为函数在上单调递增,所以在上恒成立.
又因为,所以,注意到,因此在上恒成立,也就是在,1)上恒成立.
设,则,即在上单调递增,
则,故,所以实数的取值范围为.
21.答案:见解析
解析:(1),
当时,在上是增函数,不存在最小值.
当时,由,得,且时,时.
∴时取最小值,,解得.
(2),即,即,故在上恒成立,也就是在上恒成立.设,则,由及,得.
当时,当时0,即在上为增函数,在上为减函数,所以当时取得最大值为.
所以在上恒成立时,的取值范围为.
22.答案:见解析
解析:(1),因为是一个极值点,所以,所以.
(2)因为的定义域为,所以当时,的单调递增区间为.当时,,令,得,所以函数的单调递增区间为;令,得,所以函数的单调递减区间为.
(3)设,则,因为当时,,所以在上是增函数.所以.所以当时,.
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