沪科版八上数学第14章全等三角形 单元试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版八上数学第14章全等三角形 单元试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 250.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 17:28:47 | ||
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文档简介
14章 全等三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
2.如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．40° C．62° D．38°
3.如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为（ ）
A．51cm B．48cm C．45cm D．54cm
5.如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB＝DE；（2）∠ABC+∠DFE＝90°；（3）∠ABC＝∠DEF中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7.全等三角形用符号 来表示；其对应边 ，对应角 ．
8.如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A＝∠C，则其他对应角分别为 ， ，对应边分别为 ， ， ．
9.已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是 ，最大角是 度．
10.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 （只填一个即可）
11.如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ ．
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE＝BF，则∠AOE＝ ．
13.如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，DO＝2cm，那么OC的长是 cm．
14.如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ ．
15.如图，在∠AOB的两边截取OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是 ；（填序号）
16.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝36°，则∠3＝ ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
三、解答题（本大题共5小题，共47分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
19.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，若AE＝EF，求证：BF＝AC．
20.如图所示，已知△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的长．
21.如图，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD＝90°，点E，F分别在AB，AC上，若ED平分∠BEF
（1）求证：FD平分∠EFC；
（2）求证：EF＝BE+CF．
22.已知△ABC中，分别以AB、AC同时向外作等腰三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，M为BC的中点．
（1）如图1，若∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°，探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC≠90°，∠BAE＝∠CAD＝90°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由；
（3）若∠BAC≠90°，∠BAE+∠CAD＝180°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由．
单元A卷 全等三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
B、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
D、两条直径一定互相平分，但是不一定垂直，错误；
故选：C．
【知识点】矩形的判定与性质、正方形的判定、垂径定理、全等三角形的判定与性质
2.如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．40° C．62° D．38°
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣80°﹣62°＝38°，
故选：D．
【知识点】全等三角形的性质
3.如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
【解答】解：A、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据BC＝BD，AB＝AB和∠CAB＝∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（AAS），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
【知识点】全等三角形的判定
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为（ ）
A．51cm B．48cm C．45cm D．54cm
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF，
∵△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2﹣3＝45cm，
故选：C．
【知识点】全等三角形的应用
5.如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
【知识点】角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
6.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB＝DE；（2）∠ABC+∠DFE＝90°；（3）∠ABC＝∠DEF中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
则（1）AB＝DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE＝90°，正确；
（3）∠ABC＝∠DEF．
故选：C．
【知识点】全等三角形的应用
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7.全等三角形用符号 来表示；其对应边 ，对应角 ．
【解答】解：全等三角形用符号≌来表示；其对应边：相等，对应角：相等．
故答案为：≌、相等、相等．
【知识点】全等图形
8.如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A＝∠C，则其他对应角分别为 ， ，对应边分别为 ， ， ．
【解答】解：根据题意，点A与C，点B与点D是对应顶点，点O是公共点，
∴对应角有：∠B与∠D，∠AOB与∠COD；
对应边有：AO与CO，BO与DO，AB与CD．
【知识点】全等三角形的性质
9.已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是 ，最大角是 度．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且∠A＝90°；
∴△DEF也是直角三角形；
即△DEF的最大角是90°；
已知△ABC的斜边BC＝10，故△DEF中最大边长是10．
【知识点】全等三角形的性质
10.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 （只填一个即可）
【解答】解：添加条件OB＝OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为：OB＝OD．
【知识点】全等三角形的判定
11.如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ ．
【解答】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P（3，3），
∴PN＝PM＝3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝3，
∵∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠MON，
∴∠MPA＝90°﹣∠APN，∠BPN＝90°﹣∠APN，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB
＝OA+0N+BN
＝OA+ON+AM
＝ON+OM
＝3+3
＝6，
故答案为：6．
【知识点】坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE＝BF，则∠AOE＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∵△OEF是正三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴∠AOE＝（∠AOB﹣∠EOF）÷2
＝（90°﹣60°）÷2
＝15°，
故答案为15°．
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
13.如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，DO＝2cm，那么OC的长是 cm．
【解答】解：由题意得：AB＝DC，∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴OC＝BO＝BD﹣DO＝AC﹣OD＝7．
故答案为：7．
【知识点】全等三角形的性质
14.如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ ．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝5，
∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，
故答案为3．
【知识点】全等三角形的判定与性质
15.如图，在∠AOB的两边截取OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是 ；（填序号）
【解答】解：∵OA＝OB，OC＝OD，∠O为公共角，
∴△AOD≌△BOC，
∴∠A＝∠B，
又∠APC＝∠BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
OA﹣OC＝OB﹣OD，即AC＝BD，
∴△APC≌△BPD，
∴AP＝BP，
连接OP，
即可得△AOP≌△BOP，得出∠AOP＝∠BOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
故题中结论都正确．
故答案为：①②③．
【知识点】全等三角形的判定与性质
16.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝36°，则∠3＝ ．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE，
∴∠CAE＝∠1，
∵在△AEC和△ADB中，，
∴AEC≌△ADB，（SAS）
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠ABD+∠1，
∴∠3＝∠2+∠1＝60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【知识点】直角三角形全等的判定
三、解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
【解答】证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），
∴∠CAD＝∠C′A′D′．
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．
【知识点】全等三角形的判定
19.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，若AE＝EF，求证：BF＝AC．
【解答】证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G
又∵AE＝EF
∴∠CAD＝∠AFE
又∠BFG＝∠AFE
∴∠CAD＝∠BFG
∴∠G＝∠BFG
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
20.如图所示，已知△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的长．
【解答】解：∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC＝6cm，
∵BD＝BC﹣CD，CD＝5cm，
∴BD＝6﹣5＝1cm．
【知识点】全等三角形的性质
21.如图，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD＝90°，点E，F分别在AB，AC上，若ED平分∠BEF
（1）求证：FD平分∠EFC；
（2）求证：EF＝BE+CF．
【解答】证明：（1）过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，
∴BD＝DM，
∵BD＝CD，
∴DC＝DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴∠BDE＝∠MDE，
在△BDE和△MDE中，
∴△BDE≌△MDE（SAS），
∴EB＝EM，
同理CF＝MF，
∴EF＝BE+CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
22.已知△ABC中，分别以AB、AC同时向外作等腰三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，M为BC的中点．
（1）如图1，若∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°，探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC≠90°，∠BAE＝∠CAD＝90°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由；
（3）若∠BAC≠90°，∠BAE+∠CAD＝180°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由．
【解答】解：（1）结论：DE＝2AM，AM⊥DE．
理由：如图1中，延长MA交DE于N，
∵M是BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AM＝BC，AM＝MC，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE，
∴BC＝DE，
∴AM＝DE，
∵AM＝MC，
∴∠MCA＝∠MAC，
∵∠CBA+BCA＝90°，
∴∠CBA+∠MAC＝90°，
∵△BAC≌△DAE，
∴∠CBA＝∠AED，
又∵∠MAC＝∠NAE，
∴∠AEN+∠EAN＝90°，
∴AM⊥DE．
（2）（1）中结论成立．
理由：如图2，延长AM到K，使MK＝AM，连接BK、CK．
∵M为BC边的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC＝BK＝AD，∠ABK+∠BAC＝180°，
∵∠DAC＝∠EAB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABK＝∠DAE，
在△ABK和△EAD中，
，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK＝DE，∠BAK＝∠AED，
∴DE＝2AM，
∵∠AED+∠EAN＝∠BAK+∠EAN＝180°﹣90°＝90°，
∴AM⊥DE，
即DE＝2AM且AM⊥DE．
（3）数量关系成立：DE＝2AM，位置关系不成立．
理由：如图3，延长AM到P，使MP＝MA，连接BP．
在△BMP和△CMA中，
，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP＝AC＝AD，∠BPM＝∠CAM，
又∵∠PBM＝∠ACM，
∴BP∥AC，∠ABP+∠ABP+∠BAC＝180°，
又∵∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABP＝∠EAD，
在△ABP和△EAD中，
，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA＝DE，∠BPA＝∠EDA＝∠PAC，
∵PA＝2AM，
∴DE＝2AM，
∵∠PAD＝∠CAD+∠PAC＝∠AND+∠EDA，
∴∠AND＝∠DAC，
∴∠AND不一定为90°，
∴AM与DE不一定垂直．
【知识点】直角三角形斜边上的中线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
2.如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．40° C．62° D．38°
3.如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为（ ）
A．51cm B．48cm C．45cm D．54cm
5.如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB＝DE；（2）∠ABC+∠DFE＝90°；（3）∠ABC＝∠DEF中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7.全等三角形用符号 来表示；其对应边 ，对应角 ．
8.如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A＝∠C，则其他对应角分别为 ， ，对应边分别为 ， ， ．
9.已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是 ，最大角是 度．
10.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 （只填一个即可）
11.如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ ．
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE＝BF，则∠AOE＝ ．
13.如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，DO＝2cm，那么OC的长是 cm．
14.如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ ．
15.如图，在∠AOB的两边截取OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是 ；（填序号）
16.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝36°，则∠3＝ ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
三、解答题（本大题共5小题，共47分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
19.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，若AE＝EF，求证：BF＝AC．
20.如图所示，已知△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的长．
21.如图，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD＝90°，点E，F分别在AB，AC上，若ED平分∠BEF
（1）求证：FD平分∠EFC；
（2）求证：EF＝BE+CF．
22.已知△ABC中，分别以AB、AC同时向外作等腰三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，M为BC的中点．
（1）如图1，若∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°，探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC≠90°，∠BAE＝∠CAD＝90°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由；
（3）若∠BAC≠90°，∠BAE+∠CAD＝180°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由．
单元A卷 全等三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间80分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
B、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
D、两条直径一定互相平分，但是不一定垂直，错误；
故选：C．
【知识点】矩形的判定与性质、正方形的判定、垂径定理、全等三角形的判定与性质
2.如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．40° C．62° D．38°
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣80°﹣62°＝38°，
故选：D．
【知识点】全等三角形的性质
3.如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
【解答】解：A、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据BC＝BD，AB＝AB和∠CAB＝∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（AAS），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
【知识点】全等三角形的判定
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为（ ）
A．51cm B．48cm C．45cm D．54cm
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF，
∵△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2﹣3＝45cm，
故选：C．
【知识点】全等三角形的应用
5.如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
【知识点】角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
6.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB＝DE；（2）∠ABC+∠DFE＝90°；（3）∠ABC＝∠DEF中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
则（1）AB＝DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE＝90°，正确；
（3）∠ABC＝∠DEF．
故选：C．
【知识点】全等三角形的应用
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7.全等三角形用符号 来表示；其对应边 ，对应角 ．
【解答】解：全等三角形用符号≌来表示；其对应边：相等，对应角：相等．
故答案为：≌、相等、相等．
【知识点】全等图形
8.如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A＝∠C，则其他对应角分别为 ， ，对应边分别为 ， ， ．
【解答】解：根据题意，点A与C，点B与点D是对应顶点，点O是公共点，
∴对应角有：∠B与∠D，∠AOB与∠COD；
对应边有：AO与CO，BO与DO，AB与CD．
【知识点】全等三角形的性质
9.已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是 ，最大角是 度．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且∠A＝90°；
∴△DEF也是直角三角形；
即△DEF的最大角是90°；
已知△ABC的斜边BC＝10，故△DEF中最大边长是10．
【知识点】全等三角形的性质
10.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 （只填一个即可）
【解答】解：添加条件OB＝OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为：OB＝OD．
【知识点】全等三角形的判定
11.如图，已知P（3，3），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA+OB＝ ．
【解答】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P（3，3），
∴PN＝PM＝3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝3，
∵∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠MON，
∴∠MPA＝90°﹣∠APN，∠BPN＝90°﹣∠APN，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB
＝OA+0N+BN
＝OA+ON+AM
＝ON+OM
＝3+3
＝6，
故答案为：6．
【知识点】坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质
12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE＝BF，则∠AOE＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∵△OEF是正三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴∠AOE＝（∠AOB﹣∠EOF）÷2
＝（90°﹣60°）÷2
＝15°，
故答案为15°．
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
13.如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，DO＝2cm，那么OC的长是 cm．
【解答】解：由题意得：AB＝DC，∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴OC＝BO＝BD﹣DO＝AC﹣OD＝7．
故答案为：7．
【知识点】全等三角形的性质
14.如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ ．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝5，
∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，
故答案为3．
【知识点】全等三角形的判定与性质
15.如图，在∠AOB的两边截取OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是 ；（填序号）
【解答】解：∵OA＝OB，OC＝OD，∠O为公共角，
∴△AOD≌△BOC，
∴∠A＝∠B，
又∠APC＝∠BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
OA﹣OC＝OB﹣OD，即AC＝BD，
∴△APC≌△BPD，
∴AP＝BP，
连接OP，
即可得△AOP≌△BOP，得出∠AOP＝∠BOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
故题中结论都正确．
故答案为：①②③．
【知识点】全等三角形的判定与性质
16.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝36°，则∠3＝ ．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE，
∴∠CAE＝∠1，
∵在△AEC和△ADB中，，
∴AEC≌△ADB，（SAS）
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠ABD+∠1，
∴∠3＝∠2+∠1＝60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【知识点】直角三角形全等的判定
三、解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
【解答】证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），
∴∠CAD＝∠C′A′D′．
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．
【知识点】全等三角形的判定
19.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，若AE＝EF，求证：BF＝AC．
【解答】证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G
又∵AE＝EF
∴∠CAD＝∠AFE
又∠BFG＝∠AFE
∴∠CAD＝∠BFG
∴∠G＝∠BFG
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
20.如图所示，已知△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的长．
【解答】解：∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC＝6cm，
∵BD＝BC﹣CD，CD＝5cm，
∴BD＝6﹣5＝1cm．
【知识点】全等三角形的性质
21.如图，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD＝90°，点E，F分别在AB，AC上，若ED平分∠BEF
（1）求证：FD平分∠EFC；
（2）求证：EF＝BE+CF．
【解答】证明：（1）过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，
∴BD＝DM，
∵BD＝CD，
∴DC＝DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴∠BDE＝∠MDE，
在△BDE和△MDE中，
∴△BDE≌△MDE（SAS），
∴EB＝EM，
同理CF＝MF，
∴EF＝BE+CF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
22.已知△ABC中，分别以AB、AC同时向外作等腰三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，M为BC的中点．
（1）如图1，若∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°，探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC≠90°，∠BAE＝∠CAD＝90°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由；
（3）若∠BAC≠90°，∠BAE+∠CAD＝180°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由．
【解答】解：（1）结论：DE＝2AM，AM⊥DE．
理由：如图1中，延长MA交DE于N，
∵M是BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AM＝BC，AM＝MC，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE，
∴BC＝DE，
∴AM＝DE，
∵AM＝MC，
∴∠MCA＝∠MAC，
∵∠CBA+BCA＝90°，
∴∠CBA+∠MAC＝90°，
∵△BAC≌△DAE，
∴∠CBA＝∠AED，
又∵∠MAC＝∠NAE，
∴∠AEN+∠EAN＝90°，
∴AM⊥DE．
（2）（1）中结论成立．
理由：如图2，延长AM到K，使MK＝AM，连接BK、CK．
∵M为BC边的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC＝BK＝AD，∠ABK+∠BAC＝180°，
∵∠DAC＝∠EAB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABK＝∠DAE，
在△ABK和△EAD中，
，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK＝DE，∠BAK＝∠AED，
∴DE＝2AM，
∵∠AED+∠EAN＝∠BAK+∠EAN＝180°﹣90°＝90°，
∴AM⊥DE，
即DE＝2AM且AM⊥DE．
（3）数量关系成立：DE＝2AM，位置关系不成立．
理由：如图3，延长AM到P，使MP＝MA，连接BP．
在△BMP和△CMA中，
，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP＝AC＝AD，∠BPM＝∠CAM，
又∵∠PBM＝∠ACM，
∴BP∥AC，∠ABP+∠ABP+∠BAC＝180°，
又∵∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABP＝∠EAD，
在△ABP和△EAD中，
，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA＝DE，∠BPA＝∠EDA＝∠PAC，
∵PA＝2AM，
∴DE＝2AM，
∵∠PAD＝∠CAD+∠PAC＝∠AND+∠EDA，
∴∠AND＝∠DAC，
∴∠AND不一定为90°，
∴AM与DE不一定垂直．
【知识点】直角三角形斜边上的中线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质