14章 全等三角形
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共20题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直径垂直于弦
2.如图,△ABC≌△DEF,则∠E的度数为( )
A.80° B.40° C.62° D.38°
3.如图,已知∠CAB=∠DAB,则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是( )
A.AC=AD B.BC=BD C.∠C=∠D D.∠ABC=∠ABD
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为( )
A.51cm B.48cm C.45cm D.54cm
5.如图,D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,∠DBC=∠DCB,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,则下列结论:
①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图所示,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则下列结论:(1)AB=DE;(2)∠ABC+∠DFE=90°;(3)∠ABC=∠DEF中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
二、填空题(本大题共11小题,每小题3分,共33分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
7.全等三角形用符号 来表示;其对应边 ,对应角 .
8.如图,AC,BD相交于点O,△AOB≌△COD,∠A=∠C,则其他对应角分别为 , ,对应边分别为 , , .
9.已知△ABC≌△DEF,且∠A=90°,AB=6,AC=8,BC=10,△DEF中最大边长是 ,最大角是 度.
10.如图,线段AD与BC相交于点O,连结AB、CD,且∠B=∠D,要使△AOB≌△COD,应添加一个条件是 (只填一个即可)
11.如图,已知P(3,3),点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠APB=90°,则OA+OB= .
12.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,△OEF是正三角形,且AE=BF,则∠AOE= .
13.如图,△ABC≌△DCB,A、B的对应顶点分别为点D、C,如果AB=7cm,BC=12cm,AC=9cm,DO=2cm,那么OC的长是 cm.
14.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .
15.如图,在∠AOB的两边截取OA=OB,OC=OD,连接AD,BC交于点P,则下列结论中①△AOD≌△BOC,②△APC≌△BPD,③点P在∠AOB的平分线上.正确的是 ;(填序号)
16.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=24°,∠2=36°,则∠3= .
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
三、解答题(本大题共5小题,共47分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.如图,已知在△ABC和△A′B′C′中,CD,C′D′分别是高,并且AC=A′C′,CD=C′D′,∠ACB=∠A′C′B′.求证:△ABC≌△A′B′C′.
19.如图,在△ABC中,AD是BC的中线,点E是AC上一点,BE交AD于点F,若AE=EF,求证:BF=AC.
20.如图所示,已知△ADE≌△BCF,AD=6cm,CD=5cm,求BD的长.
21.如图,BD=CD,∠ABD=∠ACD=90°,点E,F分别在AB,AC上,若ED平分∠BEF
(1)求证:FD平分∠EFC;
(2)求证:EF=BE+CF.
22.已知△ABC中,分别以AB、AC同时向外作等腰三角形,其中AB=AE,AC=AD,M为BC的中点.
(1)如图1,若∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°,探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由;
(2)如图2,若∠BAC≠90°,∠BAE=∠CAD=90°,探索(1)中的结论是否成立并说明理由;
(3)若∠BAC≠90°,∠BAE+∠CAD=180°,探索(1)中的结论是否成立并说明理由.
单元A卷 全等三角形
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间80分钟,试题共25题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直径垂直于弦
【解答】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,错误;
B、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等,错误;
C、对角线互相垂直的矩形是正方形,正确;
D、两条直径一定互相平分,但是不一定垂直,错误;
故选:C.
【知识点】矩形的判定与性质、正方形的判定、垂径定理、全等三角形的判定与性质
2.如图,△ABC≌△DEF,则∠E的度数为( )
A.80° B.40° C.62° D.38°
【解答】解:∵△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠C=62°,
∴∠F=∠C=62°,∠D=∠A=80°,
∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=180°﹣80°﹣62°=38°,
故选:D.
【知识点】全等三角形的性质
3.如图,已知∠CAB=∠DAB,则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是( )
A.AC=AD B.BC=BD C.∠C=∠D D.∠ABC=∠ABD
【解答】解:A、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(SAS),正确,故本选项错误;
B、根据BC=BD,AB=AB和∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等,错误,故本选项正确;
C、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(AAS),正确,故本选项错误;
D、∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(ASA),正确,故本选项错误;
故选:B.
【知识点】全等三角形的判定
4.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为( )
A.51cm B.48cm C.45cm D.54cm
【解答】解:∵BF=EC,
∴BF+FC=CE+FC,
即BC=EF,
∵在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF,
∵△ABC的周长为24cm,CF=3cm,
∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2﹣3=45cm,
故选:C.
【知识点】全等三角形的应用
5.如图,D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,∠DBC=∠DCB,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,则下列结论:
①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:∵AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE=DF,
在Rt△CDE和Rt△BDF中,
,
∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL),故①正确;
∴CE=AF,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴CE=AB+AF=AB+AE,故②正确;
∵Rt△CDE≌Rt△BDF,
∴∠DBF=∠DCE,
∵∠AOB=∠COD,(设AC交BD于O),
∴∠BDC=∠BAC,故③正确;
∠DAE=∠CBD,
∵Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴∠DAE=∠DAF,
∴∠DAF=∠CBD,故④正确;
综上所述,正确的结论有①②③④共4个.
故选:D.
【知识点】角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
6.如图所示,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则下列结论:(1)AB=DE;(2)∠ABC+∠DFE=90°;(3)∠ABC=∠DEF中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解答】解:∵在Rt△ABC和Rt△DEF中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
则(1)AB=DE,正确;
(2)∠ABC+∠DFE=90°,正确;
(3)∠ABC=∠DEF.
故选:C.
【知识点】全等三角形的应用
二、填空题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
7.全等三角形用符号 来表示;其对应边 ,对应角 .
【解答】解:全等三角形用符号≌来表示;其对应边:相等,对应角:相等.
故答案为:≌、相等、相等.
【知识点】全等图形
8.如图,AC,BD相交于点O,△AOB≌△COD,∠A=∠C,则其他对应角分别为 , ,对应边分别为 , , .
【解答】解:根据题意,点A与C,点B与点D是对应顶点,点O是公共点,
∴对应角有:∠B与∠D,∠AOB与∠COD;
对应边有:AO与CO,BO与DO,AB与CD.
【知识点】全等三角形的性质
9.已知△ABC≌△DEF,且∠A=90°,AB=6,AC=8,BC=10,△DEF中最大边长是 ,最大角是 度.
【解答】解:∵△ABC≌△DEF,且∠A=90°;
∴△DEF也是直角三角形;
即△DEF的最大角是90°;
已知△ABC的斜边BC=10,故△DEF中最大边长是10.
【知识点】全等三角形的性质
10.如图,线段AD与BC相交于点O,连结AB、CD,且∠B=∠D,要使△AOB≌△COD,应添加一个条件是 (只填一个即可)
【解答】解:添加条件OB=OD,
在△ABO和△CDO中,
,
∴△AOB≌△COD(ASA),
故答案为:OB=OD.
【知识点】全等三角形的判定
11.如图,已知P(3,3),点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠APB=90°,则OA+OB= .
【解答】解:
过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,
∵P(3,3),
∴PN=PM=3,
∵x轴⊥y轴,
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°,
∴∠MPN=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°,
则四边形MONP是正方形,
∴OM=ON=PN=PM=3,
∵∠APB=90°,
∴∠APB=∠MON,
∴∠MPA=90°﹣∠APN,∠BPN=90°﹣∠APN,
∴∠APM=∠BPN,
在△APM和△BPN中
∴△APM≌△BPN(ASA),
∴AM=BN,
∴OA+OB
=OA+0N+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=3+3
=6,
故答案为:6.
【知识点】坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质
12.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,△OEF是正三角形,且AE=BF,则∠AOE= .
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°.
∵△OEF是正三角形,
∴OE=OF,∠EOF=60°.
在△AOE和△BOF中,
,
∴△AOE≌△BOF(SSS),
∴∠AOE=∠BOF,
∴∠AOE=(∠AOB﹣∠EOF)÷2
=(90°﹣60°)÷2
=15°,
故答案为15°.
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
13.如图,△ABC≌△DCB,A、B的对应顶点分别为点D、C,如果AB=7cm,BC=12cm,AC=9cm,DO=2cm,那么OC的长是 cm.
【解答】解:由题意得:AB=DC,∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,
∴△AOB≌△DOC,
∴OC=BO=BD﹣DO=AC﹣OD=7.
故答案为:7.
【知识点】全等三角形的性质
14.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .
【解答】解:△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD=AE=2,AC=AB=5,
∴CE=BD=AB﹣AD=3,
故答案为3.
【知识点】全等三角形的判定与性质
15.如图,在∠AOB的两边截取OA=OB,OC=OD,连接AD,BC交于点P,则下列结论中①△AOD≌△BOC,②△APC≌△BPD,③点P在∠AOB的平分线上.正确的是 ;(填序号)
【解答】解:∵OA=OB,OC=OD,∠O为公共角,
∴△AOD≌△BOC,
∴∠A=∠B,
又∠APC=∠BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
OA﹣OC=OB﹣OD,即AC=BD,
∴△APC≌△BPD,
∴AP=BP,
连接OP,
即可得△AOP≌△BOP,得出∠AOP=∠BOP,
∴点P在∠AOB的平分线上.
故题中结论都正确.
故答案为:①②③.
【知识点】全等三角形的判定与性质
16.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=24°,∠2=36°,则∠3= .
【解答】解:∵∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE,
∴∠CAE=∠1,
∵在△AEC和△ADB中,,
∴AEC≌△ADB,(SAS)
∴∠ABD=∠2,
∵∠3=∠ABD+∠1,
∴∠3=∠2+∠1=60°.
【知识点】全等三角形的判定与性质
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
【解答】解:当AP=5或10时,△ABC和△PQA全等,
理由是:∵∠C=90°,AO⊥AC,
∴∠C=∠QAP=90°,
①当AP=5=BC时,
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL),
②当AP=10=AC时,
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL),
故答案为:5或10.
【知识点】直角三角形全等的判定
三、解答题(本大题共7小题,共46分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.如图,已知在△ABC和△A′B′C′中,CD,C′D′分别是高,并且AC=A′C′,CD=C′D′,∠ACB=∠A′C′B′.求证:△ABC≌△A′B′C′.
【解答】证明:在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(HL),
∴∠CAD=∠C′A′D′.
在△ABC和△A′B′C′中,
,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
【知识点】全等三角形的判定
19.如图,在△ABC中,AD是BC的中线,点E是AC上一点,BE交AD于点F,若AE=EF,求证:BF=AC.
【解答】证明:延长AD至G,使DG=AD,连接BG,
在△BDG和△CDA中,
,
∴△BDG≌△CDA(SAS),
∴BG=AC,∠CAD=∠G
又∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
又∠BFG=∠AFE
∴∠CAD=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF,
∴AC=BF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
20.如图所示,已知△ADE≌△BCF,AD=6cm,CD=5cm,求BD的长.
【解答】解:∵△ADE≌△BCF,
∴AD=BC=6cm,
∵BD=BC﹣CD,CD=5cm,
∴BD=6﹣5=1cm.
【知识点】全等三角形的性质
21.如图,BD=CD,∠ABD=∠ACD=90°,点E,F分别在AB,AC上,若ED平分∠BEF
(1)求证:FD平分∠EFC;
(2)求证:EF=BE+CF.
【解答】证明:(1)过D作DM⊥EF,
∵ED平分∠BEF,
∴BD=DM,
∵BD=CD,
∴DC=DM,
∴FD平分∠EFC;
(2)∵ED平分∠BEF,
∴∠BDE=∠MDE,
在△BDE和△MDE中,
∴△BDE≌△MDE(SAS),
∴EB=EM,
同理CF=MF,
∴EF=BE+CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
22.已知△ABC中,分别以AB、AC同时向外作等腰三角形,其中AB=AE,AC=AD,M为BC的中点.
(1)如图1,若∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°,探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由;
(2)如图2,若∠BAC≠90°,∠BAE=∠CAD=90°,探索(1)中的结论是否成立并说明理由;
(3)若∠BAC≠90°,∠BAE+∠CAD=180°,探索(1)中的结论是否成立并说明理由.
【解答】解:(1)结论:DE=2AM,AM⊥DE.
理由:如图1中,延长MA交DE于N,
∵M是BC的中点,∠BAC=90°,
∴AM=BC,AM=MC,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE,
∴BC=DE,
∴AM=DE,
∵AM=MC,
∴∠MCA=∠MAC,
∵∠CBA+BCA=90°,
∴∠CBA+∠MAC=90°,
∵△BAC≌△DAE,
∴∠CBA=∠AED,
又∵∠MAC=∠NAE,
∴∠AEN+∠EAN=90°,
∴AM⊥DE.
(2)(1)中结论成立.
理由:如图2,延长AM到K,使MK=AM,连接BK、CK.
∵M为BC边的中点,
∴BM=CM,
∴四边形ABKC是平行四边形,
∴AC=BK=AD,∠ABK+∠BAC=180°,
∵∠DAC=∠EAB=90°,
∴∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠ABK=∠DAE,
在△ABK和△EAD中,
,
∴△ABK≌△EAD(SAS),
∴AK=DE,∠BAK=∠AED,
∴DE=2AM,
∵∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°﹣90°=90°,
∴AM⊥DE,
即DE=2AM且AM⊥DE.
(3)数量关系成立:DE=2AM,位置关系不成立.
理由:如图3,延长AM到P,使MP=MA,连接BP.
在△BMP和△CMA中,
,
∴△BMP≌△CMA(SAS),
∴BP=AC=AD,∠BPM=∠CAM,
又∵∠PBM=∠ACM,
∴BP∥AC,∠ABP+∠ABP+∠BAC=180°,
又∵∠BAE+∠CAD=180°,
∴∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠ABP=∠EAD,
在△ABP和△EAD中,
,
∴△ABP≌△EAD(SAS),
∴PA=DE,∠BPA=∠EDA=∠PAC,
∵PA=2AM,
∴DE=2AM,
∵∠PAD=∠CAD+∠PAC=∠AND+∠EDA,
∴∠AND=∠DAC,
∴∠AND不一定为90°,
∴AM与DE不一定垂直.
【知识点】直角三角形斜边上的中线、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质