人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 【整合课件】6.1_第1课时_两个计数原理(共28张PPT)

(共28张PPT)
计数原理
第六章
6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课程内容标准 学科素养凝练
1．通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2．能够利用两个计数原理解决简单问题. 在学习两个计数原理的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
第1课时　两个计数原理
课前 预习案
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______种不同的方法．
一、分类加法计数原理
m＋n　
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______种不同的方法．
二、分步乘法计数原理
m×n　
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．
(　　)
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成． (　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有 (　　)
A．3种　 B．4种　　
C．7种　 D．12种
答案　C
3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是
(　　)
A．1　 B．3　　
C．6　 D．9
答案　D
4．用1、2、3这3个数字可以写出没有重复数字的整数_________个．
答案　15　
解析　分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,321,312,231,213，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．
[知能解读]　对分类加法计数原理的说明
(1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干类．
(2)特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中任何一种方法都可以单独完成这件事．
课堂 探究案
探究一　分类加法计数原理
(3)应用：
①根据问题的特点确定一个分类的标准；
②在确定的标准下进行分类；
③分类不能重复，不能遗漏．
(4)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事．
(1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有____________种．
答案　8　
解析　任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8种．
(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____________.
答案　13　
解析　①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个．
②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个；
a＝1时，b的取值有3个；a＝2时，b的取值有2个．
所以(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．
[方法总结]
1．使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类．
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．
只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程
[训练1]　(1)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有 (　　)
A．3种　 B．6种　　
C．7种　 D．9种
答案　C
解析　分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．
(2)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通. 今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有____________种．
答案　13　
解析　按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则有(1)，(4)2种情况；若脱落2个，则有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)6种情况；若脱落3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)4种情况；若脱落4个，则有(1,2,3,4)1种情况．综上，共有2＋6＋4＋1＝13种情况．
[知能解读]
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步都有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
探究二　分步乘法计数原理
2．利用分步乘法计数原理应注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
(2) “步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉；
(3)若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
[变式]　本题中，若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；
第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；
第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；
第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040个四位数的号码．
[方法总结]　利用分步乘法计数原理解题的一般思路 　
[训练2]　已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为____________.
答案　24　
解析　圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3个量a，b，r确定，确定a，b，r分别有3种，4种，2种选法．由分步乘法计数原理，表示不同圆的个数为3×4×2＝24．
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
探究三　两个计数原理简单综合应用
解题程序：
第一步：泛读题目明待求结论：求三种不同条件下选出画来布置房间的选法种数．
第二步：精读题目挖已知条件：(1)从14幅中任选一幅画；(2)从三种不同种类中各选一幅画；(3)从14幅画中选出两幅不同种类的画．
第三步：建立联系寻解题思路：(1)采用分类加法计数原理求解；(2)采用分步乘法计数原理求解；(3)先分类再分步求解．
第四步：书写过程养规范习惯．
解　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(3)分为三类：每一类又分两步；
第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法．
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．
所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．
[方法总结]　利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
[训练3]　如图，该电路，从A到B共有多少条不同的线路可通电？
解　从总体上看由A到B的通电线路可分三类：第一类，m1＝3条；第二类，m2＝1条；第三类，m3＝2×2＝4条．所以，根据分类加法计数原理，从A到B共有N＝3＋1＋4＝8条不同的线路可通电．