5.6 函数 y=Asin（ ωx＋φ）（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.6 函数
教学设计
一、教学目标
1.了解匀速圆周运动的数学模型.
2.掌握，，对函数图象的影响，理解与的图象之间的变换关系.
3.掌握用“五点法”画函数的图象的方法，能够应用函数的图象解决实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
，，对函数图象的影响
2、教学难点
，，对函数图象的影响
三、教学过程
1、新课导入
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？这节课我们就来了解一下匀速圆周运动的数学模型以及学习函数.
2、探索新知
1.探索对函数图象的影响：
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数的图象.
2.探索对函数图象的影响：
一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象.
3.探索对函数图象的影响：
一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是A，最小值是.
4.函数的图象与的图象的关系：
函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
例题点拨
例1 画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示.
下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象.
令，则.列表如下，描点画图如图所示.
0
0 2 0 0
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
（1）设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为5 rad/min，由题意可得，.
（2）当时，.
所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.
经过后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后2 rad，此时乙距离地面的高度为.
则甲、乙距离地面的高度差.
利用，可得，.
当（或），即（或22.8）时，
h的最大值为，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
3、课堂练习
1.已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
答案：C
解析：易得，设将的图象向左或向右平移个单位长度，得到奇函数的图象，故，又为奇函数，所以，，即，，结合选项可知，当时，.故选C.
2.（多选）已知函数的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点对称
D.函数的图象关于直线对称
答案：ABC
解析：由，得，.其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为，由是偶函数，知，，又，，因此.
，故A正确；，是最大值，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选ABC.
3.若函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.
答案：
解析：因为函数的最小正周期为π，所以，故，其图象向左平移个单位长度后，得到的图象，因为所得图象关于y轴对称，所以，，即，，因此的最小正值为，故答案为.
4、小结作业
小结：本节课学习了函数的图象变换及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.6 函数
1.对函数图象的影响：一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数的图象.
2.对函数图象的影响：一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象.
3.对函数图象的影响：一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是A，最小值是.
4.函数的图象与的图象的关系：函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
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