人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时1》教学设计

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计
课时1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
分类加法计数原理 学习理解能力 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 【考查内容】 两个基本计数原理的实际应用 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
分步乘法计数原理 数学抽象 逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容是第六章“计数原理”第1节的内容,计数就是数数,原理是在大量观察、实践的基础上,经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律.两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据,更是处理计数问题的两种基本思想方法,在本章中是奠基性的知识.
从认知基础的角度看,两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用,是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证.
从思想方法的角度看,运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”,再分类解决;运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”,先对每个步骤分类处理,再分步完成.综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题,再对每个单一问题各个击破.也就是说,两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想.
从数学本质的角度看,以退为进,以简驭繁,化难为易,化繁为简,是理解和掌握两个计数原理的关键,运用两个计数原理是知识转化为能力的.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
计数问题学生并不陌生,在不同的学段都有相应的接触.两个计数原理虽简单,易学好懂,但如何让学生借助已有的数学活动经验,抽象概括出两个计数原理,并领悟其中重要的数学思想方法,实现认知的飞跃,则是本课必须要突破的难点.为此,抓住以下两个要点尤为重要:
一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳、提炼的过程,加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机.
二是要在解决问题的过程中,始终突出两个计数原理的核心要素,即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用
2.两个基本计数原理的综合应用
【教学目标设计】
1.通过给出的具体实例,学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程,能归纳出两个计数原理,并能说出两个计数原理的联系与区别,体会从特殊到一般的思维过程.
2.根据具体的问题情境,学生能描述“完成一件事”的具体含义,说出“分类”与“分步”的区别,总结出应用两个计数原理的基本步骤.
3.会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题,领悟运用两个计数原理所包含的化归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法,以及以退为进的思维策略.
【教学策略设计】
本节课是概念原理课的教学典范.拟定采取以退为进的教学策略,采用“情境引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法,紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开,通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理,并能学会初步应用.
【教学方法建议】
探究教学法,还有____________________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.归纳出分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能用两个基本计数原理解决简单的实际问题.
难点 1. 正确理解“完成一件事”的含义.
2. 根据实际问题具体特征准确区分“分类”和“分步”.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
【情景设置】
有几种走法
下图是某城市的街道.西北角是某同学的家,东南角是学校,从家经东西4条街,南北5条街到学校(最短距离),有几种不同的走法？
【设计意图】
通过计数方式引发学生认知冲突,激发学生学习的兴趣,引出课题.
师:你能说出他怎样走距离最短吗？
生:在最短路线中,他要么往东面走,要么往南面走,往东面走四段,往南面走三段.
师:这个学生他往东走四段,往南走三段就可以完成这件事,那么,一共要走几段？一共要走七段是不是就走到学校了？那么大家能否算出有几种不同的走法？
生:35种
师:这就是一个典型的计数问题.所谓计数就是数数.其实类似的问题有很多,幼儿园时我们数有多少只鸭子？我们班有多少同学？甚至我们穿校服上衣和裤子有多少种不同的搭配种数等等,我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题.
计数问题:即计算完成一件事的方法数的问题.小时候,我们是怎么数的呀？
生:一个一个地去数.
师:当这个数很大时,列举的方法很难实施.比如,刚才这个问题可以吗？比较困难.看来我们有必要探究更有效的计数方法.本章我们就来研究一下利用什么样的模型来刻画和解决计数问题？本节先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法.
教学精讲
探究1 分类加法计数原理
师:下面我们先分析一个简单的问题,你能不能尝试从中得出巧妙的计数方法？
【先学后教】
承上启下,既巩固加法原理,又为乘法原理做铺垫,然后落脚在“分类、加法”这两个特征上,有利于学生概括分类加法计数原理.
【情景设置】
发现规律
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能够编出多少种不同的号码？
【学生尝试分析,然后由学生代表分析解答,教师及时给出评价,并由教师给出解题过程,在这里由教师按分类计数原理给出解题过程,为学生顺利总结概括出原理做好铺垫】
生:26+10=36(种).
师:对的.这就是加法运算.你能说一说这个问题的特征吗？
生:首先,这里要完成的事情是“给一个座位编号”,其次是“或”字的出现:一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同,所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同,这两类号码数相加就得到号码的总数.
师:解决这个计数问题的基本环节是什么？
生:(1)确定分类标准,根据问题条件分为字母号码和数字号码两类;(2)分别计算各类号码的个数;(3)各类号码的个数相加,得出所有号码的个数.
师:你能否尽可能简练的总结出情境设置中的计数规律？
【学生分组讨论、总结问题1中计数规律,这样由学生总结归纳,并通过讨论,准确地叙述出分类加法计数原理】
【情境学习】
通过创设贴近学生生活的“给教室里的座位编号”的问题情境,吸引学生的注意,调动学生的主动性,从而使学生顺利进入思维情境.
【要点知识】
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
【猜想探究能力】
让学生体会知识获得的过程,通过学生独立思考、自主探究、合作交流归纳出原理、提升学生猜想探究能力.
师:下面请看例题.
【典型例题】
分类加法计数原理的简单应用
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢？
【深度学习】
巩固分类加法计数原理,并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么.
师:(1)要完成的这件事是什么？
(2)如何完成这件事？
(3)进行计算.
生:要完成的事情是“选一个专业”.由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.在A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4种专业选择方法,根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有5+4=9(种).
师:若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学,那么这名同学可能的专业选择共有多少种？
生:9+4=13(种).
师:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第3类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？
生:有种不同方法.
师:如果完成一件事情有类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢？
【学生思考、回答问题,教师展示】
【整体设计 分步落实】
教师分步提问,学生回答问题,解决例1.通过整体设计分步落实的教学策略,使学生掌握分类加法计算原理的方法.
【要点知识】
分类加法计数原理的推广
完成一件事情,有类方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
师:如何理解分类加法计数原理？
【学生思考、教师总结展示】.
【归纳总结】
理解分类加法计数原理
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,类与类之间互不相容,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
【概括理解能力】
使学生体会从特殊到一般的思维方法,在知识迁移的过程,锻炼其概括理解能力.
探究2 分步乘法计数原理
师:接下来同学们请思考这样的问题.
【情景设置】
发现规律
用前个大写英文字母和这个阿拉伯数字,以的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码？
【学生尝试分析,然后由学生代表分析解答,教师及时给出评价】
生:用列举法可以列出所有可能的号码.我们还可以这样来思考:由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任意一个组成一个号码,而且它们互不相同,因此共有种不同的号码.
字母 数字 得到的号码
1
2
3
4
A 5
6
7
8
9
师:你能说一说这个问题的特征吗？
生:这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”,其中最重要的特征是“和”字的出现:一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字这两个步骤,每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
师:你能否类比分类计数原理,归纳概括出问题蕴含的计数规律,并尝试命名？
【自主学习】
指导学生通过比较、归纳、概括,类比给出分步计数原理,培养学生分析问题、模仿和语言表述能力.
【学生总结,教师评价,并展示原理】
【要点知识】
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
【深度学习】
让学生经历从教室座位编号问题到分步乘法的抽象概括,从特殊到一般的过程,从中体会归纳、类比等合情推理方式.
师:我们可以这样理解分步乘法计数原理:分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,只有依次完成每个步骤,才算完成这件事.
师:请看例2.
【典型例题】
分步乘法计数原理的简单应用
例2 某班有男生30名,女生24名,从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法？
师:(1)完成的这件事是什么？
(2)如何完成这件事？
生:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.
第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选法;
第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选法.
根据分步乘法计数原理,共有种不同的选法.
师:类比分类加法计数原理的推广,你能进行分步乘法计数原理的推广吗？
【以学定教】
通过例2巩固分步乘法计数原理,让学生进一步理解“分步”的含义.
【归纳总结】
分步乘法计数原理推广
完成一件事,需要分个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
师:两个计数原理的相同点与不同点是什么？
【学生分组讨论,合作交流】
生:共同点是研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.
不同点是它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,各类的方法相互独立,且每一类都能独立完成这件事;分步计数原理是“分步完成”,各个步骤相互依存,每个步骤缺一不可.
师:同学们总结得很到位,用两个计数原理解决计数问题的步骤如下.
【归纳总结】
用两个计数原理解决计数问题的步骤
1.明确要完成什么事
2.判断分类还是分步
3.计算总方法数
【设活动 深探究】
让学生在两个原理异同的活动探究过程中对问题进行归纳概括,培养学生总结归纳能力.
师:下面我们练习一道例题.
【典型例题】
两个基本计数原理的简单应用
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同取法？
(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法？
(3)从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同取法？
【教师分析思路,学生独立解题】
师:(1)要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成这件事,因此是分类问题,应用分类加法计数原理.
(2)要完成的事是“从书架的第层各取1本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步乘法计数原理.
(3)要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机书和文艺书各1本,再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分,应用分步乘法计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类加法计数原理.
生解:(1)从书架上任取1本书,有3类方法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
.
(2)从书架的第层各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是
.
(3).
【简单问题解决能力】
通过例3让学生进一步体会两个计数原理的不同点,提高学生解决简单实际问题的能力.
师:同学们,这节课我们学习到了哪些知识
【课堂小结】
分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用
1.分类加法计数原理
2.分步乘法计数原理
【设计意图】
通过学生回顾、归纳、总结本节的两个原理,增加学生的理解和运用能力.
教学评价
通过本节课学习,学生要正确理解“完成一件事”的含义,会应用两个计数原理解决问题,根据实际问题能正确区分“分类”与“分步”.
【设计意图】
通过对问题的分析,帮助学生提高分析问题及抽象概括能力,帮助教师找到教学中的基点和方向,是教师了解教学情况的一条关键途径.
运用所学知识,完成下面各题.
1.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选法共有( )
A.3种
B.4种
C.7种
D.12种
解析:选择课程的方法有2类:从A类课程中选一门有3种不同方法,从B类课程中选一门有4种不同方法,所以共有不同选法(种).
答案:C
2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )
A.7
B.12
C.64
D.81
解析:先从4件上衣中任取一件共4种选法,再从3条长裤中任选一条共3种选法.由分步乘法计数原理,上衣与长裤配成一套共(种)不同配法.
答案:B
3.某学生去书店,发现2本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
解析:分两类:买1本或买2本书,各类购买方式依次有2种、1种,故购买方式共有(种).
答案:C
4.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,不同的行车路线有_________条.
解析:经过一次十字路口可分两步:第一步确定入口,共有4种选法;第二步确定出口,从剩余3个路口任选一个共3种,由分步乘法计数原理知不同的路线有(条).
答案:12
5.有不同的红球8个,不同的白球7个.
(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法？
解析:(1)由分类加法计数原理,从中任取一个球的取法共有(种).
(2)由分步乘法计数原理,从中任意取出两个不同颜色的球的取法共有(种).
教学反思
本节课是本章起始课,情境的铺垫要为全章的教学服务,方法的构建也需要学生自主地完成,因此,预设的时间是比较多的.
本节课的难点是在解题中区别所使用的基本计数原理.学生在面对问题时,往往不知是使用哪个原理.教师不应在学生面对问题时问“到底是‘分类’、还是‘分步’？”,而应当引导学生构建方法,根据方法的特征来选择所适用的原理,通过引例、例题、练习,多次强调要完成的“一件事”是什么,以此突破难点.
【以学论教】
通过反思,教师可以发现对于两种基本计数原理,学生存在的问题以及学生思维的闪光点和盲区,为后续的教学不断改进方法,为提升课堂效率提供了必要的素材.
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