5.5.2 简单的三角恒等变换（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
教学设计
一、教学目标
1.通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解积化和差与和差化积公式的推导方法，并能应用其进行化简和计算.
3.通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如的三角函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问题.
二、教学重难点
1、教学重点
半角公式、积化和差、和差化积公式.
2、教学难点
半角公式、积化和差、和差化积公式.
三、教学过程
1、新课导入
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.这节课我们就来继续学习一下其他的三角恒等变换公式.
2、探索新知
例1 试以表示，，.
解：是的二倍角.
在倍角公式中，以代替，以代替，
得，所以.①
在倍角公式中，以代替，以代替，
得，所以.②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得.
知识点1 半角公式
，，.
符号由所在象限决定.
例2 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）因为，
，
将以上两式的左右两边分别相加，得，
即.
（2）由（1）可得.①
设，，那么，.
把，的值代入①，即得.
知识点2 积化和差公式
；
；
；
.
知识点3 和差化积公式
；
；
；
.
例3 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；（2）.
解：（1）
.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为.
（2）设，
则，
于是，，
于是，
所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为.
例4 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在中，，.
在中，.
所以，.
设矩形ABCD的面积为S，则.
由，得，
所以当，即时，.
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
知识点4 辅助角公式
，其中.
3、课堂练习
1.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，，.故选A.
2.若，，则___________.
答案：
解析：.
因为，所以.
3.函数的最小正周期是___________，单调递增区间是___________.
答案：；，
解析：.
所以最小正周期，令，，解得，，所以函数的单调递增区间是.
4、小结作业
小结：本节课学习了半角公式、积化和差公式、和差化积公式以及辅助角公式.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.5.2 简单的三角恒等变换
1.半角公式：
，，.符号由所在象限决定.
2.积化和差公式：
；；；.
3.和差化积公式：
；；
；.
4.辅助角公式：，其中.
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