5.7 三角函数的应用（学案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
学案
一、学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
二、知识归纳
1.简谐运动：简谐运动可以用函数，表示，其中，.
（1）振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位置.
（2）周期：，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
（3）频率：，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
（4）相位：；时的相位称为初相.
2.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.
三、习题检测
1.函数的周期，振幅，初相分别是( )
A.，-2， B.，-2，
C.，2， D.，2，
2.已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70 C.80 D.90
3.在两个弹簧上各有一个小球做上下自由振动，它们的质量分别为和.已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由和确定，则当时，与的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
4.如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是( )
A. B.
C. D.
5.（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
6.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________________.
7.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：（单位：美元，t为天数，，），现采集到下列信息：最高油价80美元，当时，油价最低，则A的值为__________，的最小值为_______________.
8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则______________，其中.
9.如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面的距离为h m.
（1）求h与之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t s达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.
10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在这两个值之间呈正弦型曲线变化（周期为一年）.
（1）求出该动物种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）；
（2）估计当年3月1日该动物种群的数量.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，所以周期，振幅，初相.故选D.
2.答案：C
解析：由函数解析式易知周期为，故频率即为每分钟心跳的次数，为80.故选C.
3.答案：C
解析：当时，；当时，，故.故选C.
4.答案：C
解析：由题图得，，，，又函数图象过点，则，，取，.故选C.
5.答案：BC
解析：由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5 cm，B正确；由简谐运动的特点知，质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，D错误.故选BC.
6.答案：
解析：由题意得，，，则，故所求函数的解析式为.
7.答案：20；
解析：由得，因为当时油价最低，所以，，即，又，所以当时，取得最小值，此时.
8.答案：
解析：设，其中，，，，由题意易知，当时，，可得.当时，，可得，所以.
9.解析：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为，
故点B的坐标为，
.
（2）易知点A在圆上转动的角速度是，
故t s转过的弧度数为，
，.
当时，.
即经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.
10.解析：（1）设该动物种群数量y关于t的解析式为，
则，解得，.
又周期，，.
又当时，，，
，，可取，
.
（2）当时，，
即当年3月1日该动物种群数量估计是750.
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