《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》竞赛培优
一、填空题
1.（全国高中数学联赛一试A卷）若一个三位数中任意两个相邻数位上的数字的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是___________.
2.（全国高中数学联赛山东赛区预赛）设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为,且长度为的三条边可以构成一个等腰（含等边）三角形,这样的三位数有__________个.
参考答案
一、填空题
1.
答案：75
解析：设平稳数的百位、十位、个位上的数字分别为,
若,则,有2个平稳数.
若,则,,,平稳数有(个).
若,则,平稳数有3=63(个).
若,则,平稳数有(个).
综上可知,平稳数的个数是.
2.
答案：165
解析：当时,共有9种情况.
当或或时,三种情形下满足题意的三位数的个数一样多.
以为例:
(1)当时, 有5种情况,有8种情况,共有40(种)情况;
(2)当时,,,,,,,共有6种情况;
(3)当时,,,,,共有4种情况;
(4)当时,,,共有2种情况.
综上所述,情况共有(种),即满足题意的三位数有165个.
1 / 2《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》链接高考
一、选择题
1.(2020·全国卷II)如图,将钢琴上的12个键依次记为.设.若且,则称为原位大三和弦;若且,则称为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )
A.5
B.8
C.10
D.15
2.用数字组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )
A.144个
B.120个
C.96个
D.72个
3.(2020·湖南株洲高三统一检测)由四个数组成没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数是( )
A.24
B.12
C.10
D.6
4.(2020 重庆一中高三月考)某中学高三年级在返校复学后,为了做好疫情防护工作,一位防疫督察员要将2盒完全相同的N95口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班,每个班至少分得一盒,则不同的分法种数是( )
A.21
B.24
C.27
D.30
5.(2020·黑龙江大庆一中高三三模)庆祝中华人民共和国成立70周年,2019年10月1日晚,金水桥南,十里长街成为舞台,3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律,用手中不时变幻色彩的光影屏,流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影潋滟间,以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节,展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃.在每名演员的手中都有一块光影屏,每块屏有1024颗灯珠,若每个灯珠的开、关各表示一个信息,则每块屏可以表示出不同图案的个数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.(2020·湖南师大附中高三月考)从2个不同的红球,2个不同的黄球,2个不同的蓝球共6个球中任取2个,放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入1个球,且球色与袋色不同,则不同的放法有_____________种.
7.某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加米的接力赛,若甲不能跑第一棒,乙不能跑最后一棒,丙丁两人如果都参加,他们必须是相邻的两棒,则不同的选派方式有_________种.
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:根据题意可知,原位大三和弦满足:.
;.
原位小三和弦满足:且
故个数之和为10.
2.答案:B
解析:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是其中1个,末位数字为其中1个;(1)首位数字为5时,末位数字有3种情况,剩余的三个位置分步骤考虑有种情况,此时有个.
(2)首位数字为4时,末位数字有2种情况,剩余的三个位置分步骤考虑有种情况,此时有个.共有个.
3.答案:C
解析:当个位数是0时,有个;当个位数是5时,有个.所以能被5整除的个数是个.
4.答案:C
解析:首先分配3盒普通医用口罩分为3种情况,再分配2盒N95口罩:
①3盒普通医用口罩分配到同一个班级,2盒口罩分别分配到另外两个班级共3种情况;
②3盒普通医用口罩分别分配到3个班级(即每个班一盒口罩),2盒口罩随机分配到3个班级共种情况;
③有1个班有1盒普通医用口罩、1个班有2盒普通医用口罩,剩余的1个班分配1盒口罩,剩余的1盒口罩随机分配共有种情况.所以,共有种分法.
5.答案:B
解析:由题意,每块屏有1024颗灯珠,若每个灯珠的开、关各表示一个信息,根据分步乘法计数原理可得表示出不同图案的个数为.
二、填空题
6.答案:42
解析:根据题意,按取出球的颜色是否相同分情况讨论解决问题.根据题意,分两类情况:
(1)若取出2个球全是同一种颜色,有3种可能,若为红色只需把它们放入蓝和黄袋即可,有2种,此时有种情况;
(2)若取出的2个球为两种颜色的球,有种,若为一红一黄,每个袋子至多放入一个球,且球色与袋色不同,有3种方法,此时共有种情况.因此,不同的放法有种.
7.答案:50
解析:根据题意可分两种情况:
(1)甲、乙都参加.若四人为甲乙丙丁,根据计数原理则有种选派方式;若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊,根据计数原理则有种选派方式.
(2)甲、乙只有一人参加.若四人为甲丙丁戊,根据计数原理则有种选派方式;若四人为乙丙丁戊,根据计数原理则有种选派方式.
根据分类加法计数原理不同的选派方式共有:.
1 / 4《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》学考达标练
一、选择题
1.（2021房县一中高二月考）从五个数中任取三个数,可组成不同的等差数列的个数为（ ）.
A.2
B.4
C.6
D.8
2.（2020枣强中学高二期末）将5个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数为（ ）.
A.20
B.
C.
D.9
3.（2021洛阳一中高二期中）已知集合,A,B是的两个非空子集,且A中所有数的和大于B中所有数的和,则集合A,B共有（ ）.
A.12对
B.15对
C.18对
D.20对
4.（2021黄冈中学月考）（多选）有6名同学参加3个智力竞赛项目,则下列说法正确的是（ ）.
A.若每人报名参加一项,每项的人数不限,则共有729种不同的报名方案
B.若每人报名参加一项,每项的人数不限,则共有216种不同的报名方案
C.每项只报一人,每人报名参加的项目不限,则共有216种不同的报名方案
D.每项只报一人,且每人至多报名参加一项,则共有120种不同的报名方案
二、填空题
5.（2021大庆中学高三模拟）某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全（每组号买一注）,需要_________元.
6.（2021黄冈中学月考）如图,在A,B之间有4个焊接点,若焊接点脱落,则可能
导致线路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有_________种.
三、解答题
7.（2021抚顺一中高二月考）用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
参考答案
1.
答案：D
解析：完成这件事分两类:
第1类,公差大于0,有,共4个不同的等差数列;
第2类,公差小于0,也有4个不同的等差数列.
根据分类加法计数原理,不同的等差数列共有个.
2.
答案：C
解析：对于第一个小球有4种不同的放法,第二个小球也有4种不同的放法,,第五个小球也有4种不同的放法,即每个小球都有4种不同的放法,根据分步乘法计数原理知共有种不同的放法,故选C.
3.
答案：D
解析：当A,B均只有一个元素时有3对,当B有一个元素A有两个元素时有8对,当B有一个元素A有三个元素时有3对,当B有两个元素A有两个元素时有3对,当B有两个元素A有三个元素时有3对,共20对.
4.
答案：ACD
解析：若每人报名参加一项,每项的人数不限,则共有(种)不同的报名方案,故A正确,B错误;每项只报一人,每人报名参加的项目不限,则共有(种)不同的报名方案,故C正确;每项只报一人,且每人至多报名参加一项,则共有(种)不同的报名方案,故D正确.
5.
答案：8640
解析：从01至10中选3个连续的号,有8种;从11至20中选2个连续的号,有9种;从21至30中选1个号,有10种;从31至36中选1个号,有6种,故总的选法有(种),共需要(元).
6.
答案：13
解析：每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,A,B之间线路不通可能是一个或多个焊接点脱落,若以此进行分类,则问题比较复杂.但是A,B之间线路通的情况只有3种,即焊接点1和焊接点4均未脱落且焊接点2和焊接点3至少有一个有脱落,故A,B之间线路不通时,焊接点脱落的不同情况共有 (种).
7.
答案：见解析
解析：解:完成这件事可分四步:
第一步,“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法;
第二步,“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同,有5种不同的选法;
第三步,“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同,有4种不同的选法;
第四步,“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可,有5种不同的选法.
由分步乘法计数原理知,该板报共有(种)不同的书写方案.
3 / 4《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》高考通关练
一、选择题
1.如果,且,,那么满足条件的不同的有序自然数对,的个数是（ ）.
A.15
B.12
C.5
D.4
2.（2021东莞三校高二期中）有如图所示的七张卡片,现这样组成一个三位数:甲从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字写在百位上,然后把卡片放回;乙再从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字写在十位上,然后把卡片放回;丙又从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字写在个位上,然后把卡片放回.这样组成的三位数的个数为（ ）.
A.21
B.48
C.64
D.81
３.（2021济南检测）用0，1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A.243
B.252
C.261
D.279
4.（2021郑州一中模拟）（多选）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（ ）.
A.若只需1人参加，则有16种不同的选法
B.若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C.若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D.若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
５.（2021辽宁省实验中学单元检测）（多选）某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物学、政治这三科，且生物学在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）.
A.此人有4种不同的选课方式
B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节
D.自习课可安排在4节课中的任一节
二、填空题
6.（2021北京西城区高三联考）如图,玩具计数算盘的三档上各有7个算珠,现将每档算珠分为左右两部分,左侧的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠),记上、中、下三档的数字和分别为,例如,图中上档的数字和.若成等差数列,则不同的分珠计数法有________种.
7.（顺德区一模）甲、乙、丙、丁4名同学去参加3个不同的社团,每名同学只能参加其中1个社团,且甲、乙两名同学不参加同一个社团,则共有_________种情况.
8.（2021天津实验中学月考）如图所示的几何体是由一个正三棱锥与一个正三棱柱组合而成的,现有3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面不染色),要求每面染一色,且相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.
9.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:.则(1)4位回文数有__________个;(2)位回文数有_______个.
三、解答题
10.（2021西南师大附中高三模拟）给下面A,B,C,D 4个区域按照下列要求涂色.
（1）用3种不同颜色填涂A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
11.（复旦大学自主招生）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
参考答案
1.
答案：A
解析：分情况讨论:(1)当时, ,有6种情况;(2)当时,,有5种情况;(3)当时,,有4种情况.由分类加法计数原理可得满足条件的有序自然数对,的个数是.
2.
答案：C
解析：第一步:甲从七张卡片中随机抽出一张,抽到的不同取值为,共4种情况;第二步:乙从七张卡片中随机抽出一张,抽到的不同取值为,共4种情况;第三步:丙从七张卡片中随机抽出一张,抽到的不同取值为,共4种情况.因此,这样组成的三位数的个数为.故选C.
3.
答案：B
解析：能够组成三位数的个数为,能够组成无重复数字的三位数的个数为,故能够组成有重复数字的三位数的个数为.
4.
答案：AC
解析：若只需1人参加,则有(种)不同的选法,故A正确;若需老师、男学生、女学生各1人参加,则有5=120(种)不同的选法,故B错误,C正确;若需1名老师、1名学生参加,则有(种)不同的选法,故D错误.
5.
答案：BD
解析：由于生物学在层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类:
若生物学选第2节,则地理可安排在第1,3节,有2种选法,其他任意选即可,故有(种)(此种情况自习课可出现在第1,3,4节中的某节);
若生物学选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习课只能选在第2节,故有1种.
根据分类加法计数原理可得共有(种)不同的选课方式.由以上分析可知,自习课可安排在4节课中的任一节.故选.
6.
答案：32
解析：每档可取7到14中的每个整数,若公差为0,共有8种;若公差为,则共有12种;若公差为,则共有8种;若公差为,则共有4种.所以不同分珠计数法有(种),故答案为32.
7.
答案：54
解析：根据题意,先计算4名同学去参加3个不同的社团的情况种数:
4名同学中每人可以在3个不同的社团中任选1个,即每人有3 种不同的选法, 则情况共有(种).
再计算甲、乙参加同一个社团的情况种数:若甲，乙参加同一个社团,则甲、乙两人有3种选法,剩下的2人每人有3种不同的选法,则剩下的2人的选法有(种),则甲、乙参加同一个社团的情况有(种).则甲、乙两名同学不参加同一个社团的情况有(种).
8.
答案：12
解析：先染三棱锥的3个侧面,有种染法,然后染三棱柱的3个侧面,当棱锥所染的颜色确定后,棱柱所染的颜色只有2种情形,所以不同的染色方案共有(种).
9.
答案：(1)90 (2)
解析：(1)千位有9种不同填法,百位有10种不同填法,十位、个位对应各有一种填法.由分步乘法计数原理可知,共有个).
(2)由回文数的对称性知,只需考察位回文数自左至右的前位数.最高位有9种不同填法,其余n位分别有10种不同填法,由分步乘法计数原理可知,共有个.
10.
答案：见解析
解析：解:(1)涂A区域有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理知将A,B,C,D四个区域涂色共有(种)不同的涂色方案.
(2)恰好用3种不同颜色涂四个区域,则A,C区域或A,D区域或B,D区域必同色.由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共(种)不同涂色方案.
(3)若恰好用2种不同颜色涂四个区域,则A,C区域必同色,且B,D区域必同色.先从3种不同颜色中任取2种颜色,共3种不同的取法,然后用所取的2种颜色涂四个区域,共2种不同的涂法.由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域,共有(种)不同的涂色方案.
11.
答案：见解析
解析：解:显然四位数字全部相同的四位数有9个,下面考虑恰有两个不同数字的四位数,分三个步骤考虑:
第1步,考虑千位数字,有9种可能取法: ;
第2步,考虑百位、十位、个位上的数字,除了千位数字外,再从其余9个数字中选出1个,有9种可能取法;
第3步,前两步2个数字确定后,再对个位、十位、百位上的数字进一步确定.这三个位置上各有2种可选择性,但要去掉一种情况,即个位、十位、百位上的数字都和千位数字相同,故有种选法.
综上所述,共有四位数(个).
1 / 6
