人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_1_1条件概率导学案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_1_1条件概率导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 192.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 20:31:10 | ||
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文档简介
7.1.1 条件概率
学习目标
1．通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义．
2．掌握求条件概率的两种方法．
3．利用条件概率公式解决一些简单的问题．
学习过程
一、新知探究
[提出问题]
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)、P(B)、P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：.
[导入新知]
1．条件概率
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[化解疑难]
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外 ，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2．P(B|A)＝可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．
3．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式．
二、典型例题
题型一：利用条件概率公式求解
[例1] 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．
[类题通法]
计算条件概率的两种方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即
P(B|A)＝.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
[活学活用]
1．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
题型二：利用条件概率性质求概率
[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
[类题通法]
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[活学活用]
2、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
三、随堂检测
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.1
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
参考答案
典型例题
[例1] [解] 记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.
(1)P(A)＝.
(2)P(B)＝＝.
(3)法一：因为P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，
所以P(B|A)＝＝＝.
[活学活用]
1．解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，
P(BA)＝＝，
P(B|A)＝＝.
典型例题
[例2] [解] 设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
=，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝,
故所求的概率为.
[活学活用]
2、解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}，
则P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
P(A)＝P(AB∪A )＝P(AB)＋P(A )
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
随堂检测
1．答案：C
解析：由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．答案：B
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
3．答案：
解析：由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
4．答案：
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则，，故.
5．解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝，P(A1B1)＝，所以.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
学习目标
1．通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义．
2．掌握求条件概率的两种方法．
3．利用条件概率公式解决一些简单的问题．
学习过程
一、新知探究
[提出问题]
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)、P(B)、P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：.
[导入新知]
1．条件概率
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[化解疑难]
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外 ，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2．P(B|A)＝可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．
3．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式．
二、典型例题
题型一：利用条件概率公式求解
[例1] 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．
[类题通法]
计算条件概率的两种方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即
P(B|A)＝.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
[活学活用]
1．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
题型二：利用条件概率性质求概率
[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
[类题通法]
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[活学活用]
2、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
三、随堂检测
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.1
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
参考答案
典型例题
[例1] [解] 记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.
(1)P(A)＝.
(2)P(B)＝＝.
(3)法一：因为P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，
所以P(B|A)＝＝＝.
[活学活用]
1．解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，
P(BA)＝＝，
P(B|A)＝＝.
典型例题
[例2] [解] 设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
=，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝,
故所求的概率为.
[活学活用]
2、解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}，
则P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
P(A)＝P(AB∪A )＝P(AB)＋P(A )
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
随堂检测
1．答案：C
解析：由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．答案：B
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
3．答案：
解析：由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
4．答案：
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则，，故.
5．解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝，P(A1B1)＝，所以.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.