人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_2离散型随机变量及分布列(1)导学案

7.2　离散型随机变量及分布列(1)
学习目标
1．理解随机变量的意义．
2．学会区分离散型随机变量与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．
3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．
学习过程
一、新知探究
[提出问题]
问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为X，则X可取哪些数字？
提示：X＝0,1,2,3，…，10.
[导入新知]
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
[化解疑难]
1．随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们．例如，掷一枚硬币，X＝1表示正面向上，X＝0表示反面向上．
2．并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.
二、典型例题
题型一：随机变量的概念
[例1]　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场2014年5月1日候机厅中的旅客数量；
(2)2014年某天收看中超联赛的人数；
(3)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(4)体积为8 cm3的正方体的棱长．
[类题通法]
解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
[活学活用]
1、指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由，
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
题型二：离散型随机变量的判定
[例2] 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(2)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29)这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
[类题通法]
离散型随机变量的判定方法
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．.
[活学活用]
2、指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(3)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
题型三：随机变量的取值及表示的事件
[例3]　写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数Y.
[类题通法]
随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用，这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
[活学活用]
3、小王钱夹中只剩20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．
三、随堂检测
1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是(　　)
A. 两枚都是4点
B．一枚是1点，另一枚是3点
C．两枚都是2点
D．一枚是1点，另一枚是3点，或者两枚都是2点
4．一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．
5．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值．
参考答案
典型例题
[例1] [解析](1)旅客数量可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)在中超联赛播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多、可能少，因此是随机变量．
(3)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种情况，每种情况出现是随机的，是随机变量．
(4)正方体的棱长为定值，不是随机变量．
[活学活用]
1、解：(1)某人射击一次，命中的环数可能是0环，1环，…，10环结果中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)任意掷一枚均匀硬币1次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(3)投一颗质地均匀的骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
典型例题
[例2] [解析](1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下4种：
3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因此是离散型随机变量．
(2)是离散型随机变量，因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．
(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29)这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
[活学活用]
2、解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30)内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
典型例题
[例3]　[解析](1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，x＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.
Y＝2表示(1,1)；
Y＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
……
Y＝12表示(6,6)．
[活学活用]
3、解：X的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.
其中，X＝3，表示抽到的是1元和2元；
X＝6，表示抽到的是1元和5元；
X＝7，表示抽到的是2元和5元；
X＝11，表示抽到的是1元和10元；
X＝12，表示抽到的是2元和10元；
X＝15，表示抽到的是5元和10元；
X＝21，表示抽到的是1元和20元；
X＝22，表示抽到的是2元和20元；
X＝25，表示抽到的是5元和20元；
X＝30，表示抽到的是10元和20元．
随堂检测
1．答案：B
解析：在标准状态下，水沸腾时的温度是一个常数，而不是随机变量．
2．答案：C
解析：∵取到产品的件数是一个常数，不是随机变量，排除A，而概率也是如此，故选C.
3．答案：D
解析：抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y点，而ξ＝x＋y，
则ξ＝4 或或
4．答案：0,1,2,3
解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．
5．解：ξ的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
ξ＝0表示第一关就没有过；
ξ＝1 000表示第一关通过而第二关没有通过；
ξ＝3 000表示第一关通过，第二关通过而第三关没有通过；
ξ＝6 000表示三关都通过．