人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_2离散型随机变量及分布列(2)导学案

7.2　离散型随机变量及分布列(2)
学习目标
1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．
3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．
学习过程
一、新知探究
知识点一、离散型随机变量的分布列
[提出问题]
投掷一颗骰子，所得点数为X.
问题1：X可取哪些数字？
提示：X＝1,2,3,4,5,6.
问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
问题3：你能用表格表示X与p的对应关系吗？
提示：列表如下
X 1 2 3 4 5 6
p
[导入新知]
1．分布列的定义
若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
(2).
[化解疑难]
离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
知识点二、两个特殊分布
[提出问题]
问题1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况，在性别这一方面共有几种情况？
提示：两种．
问题2：在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为？
提示：.
[导入新知]
1．两点分布
称分布列
X 0 1
P 1－p p
为两点分布列．若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
[化解疑难]
1．一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0,1两个，故又称为0－1分布．
2．超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法．运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出X所有可能取值的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值．
二、典型例题
题型一：离散型随机变量分布列的性质
[例1]　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
[类题通法]
在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2).
[活学活用]
若离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1
P 9C2－C 3－8C
试求出常数C.
题型二：离散型随机变量的分布列
[例2]　放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
[类题通法]
求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列．
[活学活用]
某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
题型三：超几何分布的应用
[例3]　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
[类题通法]
解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．
[活学活用]
从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3件，求取得次品数为X的分布列．
三、随堂检测
1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　　　 B．10
C．7 D．6
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是________．
4．在掷一枚图钉的随机试验中，令,如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X的分布列为________________________．
5．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
参考答案
典型例题
[例1] [解]　(1)由P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，可知＝k＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
(2)由(1)可知P＝(k＝1,2,3,4,5)，所以P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
[活学活用]
解：由离散型随机变量的分布列性质可知：
P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，
即9C2－9C＋3＝1，得C＝或C＝.
又因为
解得≤C≤，所以C＝.
典型例题
[例2] [解]　设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个．X的可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为
X －1 0 1
P
[活学活用]
解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故其分布列为
X 1 2 3 4
P
典型例题
[例3] [解]　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
[活学活用]
解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
随堂检测
1．答案：C
解析： y的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．
2．答案：B
解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
3．答案：
解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.
4．答案：
X 0 1
P 0.2 0.8
解析：随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，由P(X＝1)＝0.8，可得P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，故可写出X的分布列．
5．解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝，
所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P