人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_3_1离散型随机变量的均值导学案

7.3.1　离散型随机变量的均值
学习目标
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量均值的性质．
3．掌握两点分布、二项分布的均值．
4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
学习过程
一、新知探究
[提出问题]
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？
提示：X＝5,6,7.
问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？
提示：，，.
问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？
提示：＝5×＋6×＋7×.
[导入新知]
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b .
2．两点分布与二项分布的均值
X X服从两点分布 X～B(n，p)
E(X) p(p为成功概率) np
[化解疑难]
1．对离散型随机变量均值的理解
离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．
二、典型例题
典型例题一：求离散型随机变量的均值
[例1]　甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是，乙破译出密码的概率是，设破译出该密码的人数为X，求其数学期望．
[类题通法]
求期望的关键是写出分布列，一般分四步：(1)确定X可能的取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
[活学活用]
1、盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
典型例题二：求两点分布及二项分布的均值
[例2]　某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
[类题通法]
设p为成功概率，则服从两点分布的离散型随机变量的均值为p，服从二项分布的离散型随机变量的均值为np.
[活学活用]
2、若将题型一中的[活学活用]中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．
典型例题三：均值问题的实际应用
[例3]　甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及求甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
[类题通法]
解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．
[活学活用]
3、某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．
三、随堂检测
1．已知ξ的分布列为
ξ －1 0 1 2
P
则ξ的均值为(　　)
A．0 B．－1 C. D.
2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)
A．20 B．25 C．30 D．40
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.　
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
参考答案
典型例题
[例1]　[解]　设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X的可能取值是0,1,2.
P(X＝0)＝P(·)＝P()·P()＝×＝；
P(X＝1)＝P(A·)＋P(·B)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以X的分布列是
X 0 1 2
P
因此E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[活学活用]
1、解：X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
[例2]　[解]　(1)X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
[活学活用]
2、解：每次检验取到好电池的概率均为，
故X～B(5，)，
则E(X)＝5×＝3.
[例3]　[解]　(1)由图乙可知
P(X乙＝7)＝0.2，
P(X乙＝9)＝0.2，
P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，
P(X甲＝8)＝0.15，
P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
[活学活用]
3、解：(1)设5发子弹命中X(X＝0,1,2,3,4,5)发，
则由题意有P(X＝5)＝C5＝.
(2)X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
设游客在一次游戏中获得奖金为Y元，
于是Y的分布列为
Y －2 0 40
P
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
E(Y)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元)．
三、随堂检测
1．解析：选D　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.
2．解析：选B　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～B.
故E(X)＝80×＝25.
3．解析：依题意得
即解得y＝0.4.
答案：0.4
4．解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－.
答案：－
5．解析：(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.