人教A版（2019）数学选择性必修第三册 7_5正态分布导学案

7.5 正态分布
学习目标
1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线和正态分布的意义．
2．能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线的形状的影响．
3．了解3σ原则，会用正态分布解决实际问题．
学习过程
一、知识精讲
知识点一、正态曲线及正态分布
[导入新知]
1．正态曲线
函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈φμ，σ(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，如图．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
[化解疑难]
参数μ和σ的意义：正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.
知识点二、正态曲线的特点及3σ原则
[导入新知]
1．正态曲线的特点
正态曲线φμ，σ(x)＝，x∈R有以下特点：
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．3σ原则
正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
[化解疑难]
对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．
二、典型例题
典型例题一：正态曲线的图象和性质
[例1]　如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．
[类题通法]
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
[活学活用]
1、设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
知识点二、正态分布中的概率计算
[例2]　设随机变量X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1(2)P(3[类题通法]
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
特别注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0.
[活学活用]
2、在本例条件下求P(X>5)．
知识点三、正态分布的实际应用
[例3]　设在一次数学考试中，某班学生的成绩X～N(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．
[类题通法]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ[活学活用]
3、某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？
三、随堂检测
1．设X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足(　　)
A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2
C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ
2．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是(　　)
A．95.44%　　　　　　　 B．99.74%
C．4.56% D．0.26%
3．设随机变量X～N(1,22)，则D等于________．
4．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.
5．设随机变量X～N(0,1)，求P(X≤0)，P(－2参考答案
典型例题
[例1]　[解]从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
[活学活用]
1、解析：选A　μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
[例2]　[解]　(1)P(－1(2)P(3＝[P(1－4＝(0.954 4－0.682 6)≈0.135 9.
[活学活用]
2、解析：P(X>5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3＝[1－P(1－4[例3]　[解]　因为X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20，
P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 6.
于是X＞130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7，
X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3，
故及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．
[活学活用]
3、解析：由于X服从正态分布N(4,0.52)，
由正态分布的性质，可知
正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.003，
而5.7 (2.5,5.5)，
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．
三、随堂检测
1．解析：选D　利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
2．解析：选B　由X～N知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.5＝0.997 4.
3．解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，
所以D＝D(X)＝×4＝1.
答案：1
4．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：①　②　③
5．解析：对称轴X＝0，故P(X≤0)＝0.5，P(－2