人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 170.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 20:34:48 | ||
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文档简介
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）
【学习目标】
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．
3．会根据实际问题合理分类或分步．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P2～7，思考并完成以下问题
1．什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5
C．3 D．2
3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为( )
A．7 B．64
C．12 D．81
4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有______种不同的取法．
三、新知探究
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
3．两个原理的区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
四、题型突破
题型一 分类加法计数原理
【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．
【反思感悟】
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
【多维探究】
1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．
2．[变条件，变设问]用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．
题型二 分步乘法计数原理
【例2】从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
【反思感悟】
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？
题型三 两个计数原理的简单综合
【例3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【反思感悟】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
(3)综合问题一般是先分类再分步．
【跟踪训练】
2．某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？
五、达标检测
1.现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为( )
A.27 B.54 C.108 D.96
2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A.14 B.24 C.28 D.48
3.从集合{1，2，3}和集合{4，5，6，7}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为________.
4.有不同的红球8个，不同的白球7个.
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法
五、本课小结
1．本节课的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，难点是两个计数原理的灵活应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用分类加法计数原理解决有关问题，见例1；
(2)用分步乘法计数原理解决有关问题，见例2；
(3)灵活运用两个计数原理解决与之有关的综合问题，见例3.
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每一类办法都能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏” 各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
联系 两个原理都可用来计算完成某件事的方法种数，最终目的都是完成某件事
参考答案
课前小测
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：48
题型突破
【例1】 答案：36
解析：(1)法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：分析个位数字，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；
个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；
同理，个位是7的有6个；
……
个位是2的有1个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
【多维探究】
1．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
2．答案：15
解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；
第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，
∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．
【例2】解：(1)三位数有三个数位，
故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
【跟踪训练】
1．解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法．
由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.
法二：按主力与非主力，分两步安排．
第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，
第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有7×6种方法．
由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×7×6＝252.
【例3】解：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
【跟踪训练】
2．解：①若幸运之星在甲箱中抽取，
则有30×29×20＝17 400种不同的结果；
②若幸运之星在乙箱中抽取，
则有20×19×30＝11 400种不同的结果．
故共有17 400＋11 400＝28 800种不同结果．
五、达标检测
1.答案：C
解析：首先给最左边一块涂色，有4种涂法，再给左边第二块涂色有3种涂法，以此类推第三块有3种涂法，第四块有3种涂法，所以根据分步乘法计数原理知共有4×3×3×3=108(种)涂法.
2．答案：A
解析：按照女生的人数分为两类:第一类，一名女生，则男生3名，从2名女生中选出1人，有2种方法，从4名男生中选出3名，余下一名，所以有4种方法，所以选1女3男的方法共有2×4=8种；第二类，2名女生，则2名男生，选出女生有1种方法，从4名男生中选出2名，有6种方法，所以选2女2男的方法有1×6=6种，所以由分类加法计数原理得不同的选派方案种数为8+6=14.
3.答案：24
解析：先在集合{1，2，3}中取出一个元素，共有3种取法，再在集合{4，5，6，7}中取出一个元素，共有4种取法.取出的两个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知，不同点的个数为3×4×2=24(个).
4.解析：(1)由分类加法计数原理知，
从中任取一个球共有8+7=15(种)不同取法.
(2)由分步乘法计数原理知，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56(种)不同取法.
【学习目标】
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．
3．会根据实际问题合理分类或分步．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P2～7，思考并完成以下问题
1．什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5
C．3 D．2
3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为( )
A．7 B．64
C．12 D．81
4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有______种不同的取法．
三、新知探究
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
3．两个原理的区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
四、题型突破
题型一 分类加法计数原理
【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．
【反思感悟】
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
【多维探究】
1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．
2．[变条件，变设问]用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．
题型二 分步乘法计数原理
【例2】从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
【反思感悟】
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？
题型三 两个计数原理的简单综合
【例3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【反思感悟】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
(3)综合问题一般是先分类再分步．
【跟踪训练】
2．某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？
五、达标检测
1.现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为( )
A.27 B.54 C.108 D.96
2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A.14 B.24 C.28 D.48
3.从集合{1，2，3}和集合{4，5，6，7}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为________.
4.有不同的红球8个，不同的白球7个.
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法
五、本课小结
1．本节课的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，难点是两个计数原理的灵活应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用分类加法计数原理解决有关问题，见例1；
(2)用分步乘法计数原理解决有关问题，见例2；
(3)灵活运用两个计数原理解决与之有关的综合问题，见例3.
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每一类办法都能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏” 各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
联系 两个原理都可用来计算完成某件事的方法种数，最终目的都是完成某件事
参考答案
课前小测
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：48
题型突破
【例1】 答案：36
解析：(1)法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：分析个位数字，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；
个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；
同理，个位是7的有6个；
……
个位是2的有1个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
【多维探究】
1．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
2．答案：15
解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；
第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，
∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．
【例2】解：(1)三位数有三个数位，
故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
【跟踪训练】
1．解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法．
由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.
法二：按主力与非主力，分两步安排．
第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，
第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有7×6种方法．
由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×7×6＝252.
【例3】解：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
【跟踪训练】
2．解：①若幸运之星在甲箱中抽取，
则有30×29×20＝17 400种不同的结果；
②若幸运之星在乙箱中抽取，
则有20×19×30＝11 400种不同的结果．
故共有17 400＋11 400＝28 800种不同结果．
五、达标检测
1.答案：C
解析：首先给最左边一块涂色，有4种涂法，再给左边第二块涂色有3种涂法，以此类推第三块有3种涂法，第四块有3种涂法，所以根据分步乘法计数原理知共有4×3×3×3=108(种)涂法.
2．答案：A
解析：按照女生的人数分为两类:第一类，一名女生，则男生3名，从2名女生中选出1人，有2种方法，从4名男生中选出3名，余下一名，所以有4种方法，所以选1女3男的方法共有2×4=8种；第二类，2名女生，则2名男生，选出女生有1种方法，从4名男生中选出2名，有6种方法，所以选2女2男的方法有1×6=6种，所以由分类加法计数原理得不同的选派方案种数为8+6=14.
3.答案：24
解析：先在集合{1，2，3}中取出一个元素，共有3种取法，再在集合{4，5，6，7}中取出一个元素，共有4种取法.取出的两个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知，不同点的个数为3×4×2=24(个).
4.解析：(1)由分类加法计数原理知，
从中任取一个球共有8+7=15(种)不同取法.
(2)由分步乘法计数原理知，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56(种)不同取法.