人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2 排列、排列数(1)导学案

6.2 排列、排列数（1）
【学习目标】
1．了解排列、排列数的定义．
2．掌握排列数公式的推导方法．
3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P14～20，思考并完成以下问题
1．排列的概念是什么？
2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？
3．排列数公式有哪些性质？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．(　　)
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　)
(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．(　　)
(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　)
2．等于(　　)
A．9×3 B．93
C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3
3．若A＝10×9×…×5，则m＝________.
三、新知探究
1．排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)排列顺序相同．
3．排列中元素所满足的两个特性
(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
4．排列数及排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法 A
排列数 公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式 A＝
性质 A＝n！
备注 n，m∈N*，m≤n
四、题型突破
题型一 排列的概念
【例1】判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组分别去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
【反思感悟】
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
1．下列问题是排列问题吗？
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
题型二 简单排列问题
【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【反思感悟】
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，最后再按树形图写出排列
【跟踪训练】
2．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
题型三　排列数公式及应用
【例3】根据要求完成下列各题．
(1)计算：；
(2)解方程：3＝4；
(3)解不等式：<6.
【反思感悟】
排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
【跟踪训练】
3．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)若3＝2＋6，求n.
五、达标检测
1．排列数A中，m，n满足的条件是(　　)
A．n>m　　　　　　　 B．n≥m
C．n≥m，且m，n∈N* D．n>m，且m，n∈N*
2．从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人1本，共有给法(　　)
A．5种 B．10种
C．20种 D．60种
3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有(　　)
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种
4．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)用排列数表示为________．
5．求证：＝1.
六、本课小结
1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)对排列概念的理解，见例1；
(2)利用排列数公式进行计算或证明，见例2；
(3)简单排列问题的解决方法，见例3.
3．本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时，易忽视条件m≤n，且m∈N*，n∈N*．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．答案：6
题型突破
【例1】解析：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题．
【跟踪训练】
1．解：(1)不是；
(2)是；
(3)第一问不是，第二问是．
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题.
【例2】解析：(1)由题意作“树形图”，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意作“树形图”，如下．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
【跟踪训练】
2．解：如图所示的树形图：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种.
【例3】解析：(1)原式＝＝＝＝＝.
(2)由排列数公式，原方程可化为
3×＝4×，
化简得3＝，
即x2－19x＋78＝0，
解得x1＝6，x2＝13.
因为x≤8，
所以原方程的解是x＝6.
(3)由排列数公式，得<6·，
化简得1<，
即x2－19x＋84<0，
所以7又因为x∈N*,0所以2所以x＝8.
【跟踪训练】
3．解：(1)A＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
(2)＝＝1.
(3)由3A＝2A＋6A，得
3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．
因为n≥3且n∈N*，
所以3n2－17n＋10＝0.
解得n＝5或n＝(舍去)．
所以n＝5.
达标检测
1．答案：C
2．答案：C
解析：由题意，相当于从5个元素中任取2个排序，共有A＝5×4＝20种，故选C.
3．答案：B
解析：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，用树状图表示，如图．
共有9种不同的分配方式．
4．答案：A
解析：∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15个，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
5．证明：左边＝
＝·(n－m)！·
＝·(n－m)！·＝1＝右边．
故原式成立．