人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2_2排列的综合应用导学案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2_2排列的综合应用导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 20:35:19 | ||
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文档简介
6.2.2排列的综合应用
学习目标
1．进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算．
2．能用所学的排列知识正确解决简单的实际问题，掌握常用的方法：直接法(如特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法等)、间接法．
3．通过实例分析过程，体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣．
学习重难点
重点：常见的解决排列问题的策略
难点： 与数字有关的排列问题
学习过程
一、知识回顾
1．两个计数原理有何区别？
2．排列与排列数有何不同？
二、典型例题
题型一：无限制条件的排列问题
[例1] 有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
[类题通法]
没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
[活学活用]
某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
题型二：元素的“在”与“不在”问题
[例2] 3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端．
[类题通法]
1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
[活学活用]
乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．
题型三：元素的“相邻”或“不相邻”问题
[例3] 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[类题通法]
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．
2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
[活学活用]
7人站成一排．求：
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
三、随堂检测
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
4．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
5．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
参考答案
典型例题
[例1] 解：从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此有A＝5×4×3＝60种不同的安排方法．
[活学活用]
答案：15
解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．
典型例题
[例2] 解： (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2 880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．
[活学活用]
答案：252
解析：分两步完成：第1步，安排三名主力队员有A种排法；第2步安排另2名队员有A种排法，所以共有A·A＝252种不同的出场安排．
典型例题
[例3] 解： (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法．
[活学活用]
解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法．
(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A种排法，甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3 600种甲、乙不相邻的排法．
法二(插空法)：将其余5人排列，有A种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3 600种排法．
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法．
(4)(插空法)将其余4人排好，有A种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法．
随堂检测
1．答案：C
解析： 由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.
2．答案：B
解析： 从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
3．答案：11
解析：因为good有两个相同字母，所以可能出现A－3AA－1＝11种错误．
4．答案：36
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A＝3×12＝36种选法．
5．解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．
学习目标
1．进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算．
2．能用所学的排列知识正确解决简单的实际问题，掌握常用的方法：直接法(如特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法等)、间接法．
3．通过实例分析过程，体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣．
学习重难点
重点：常见的解决排列问题的策略
难点： 与数字有关的排列问题
学习过程
一、知识回顾
1．两个计数原理有何区别？
2．排列与排列数有何不同？
二、典型例题
题型一：无限制条件的排列问题
[例1] 有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
[类题通法]
没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
[活学活用]
某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
题型二：元素的“在”与“不在”问题
[例2] 3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端．
[类题通法]
1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
[活学活用]
乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．
题型三：元素的“相邻”或“不相邻”问题
[例3] 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[类题通法]
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．
2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
[活学活用]
7人站成一排．求：
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
三、随堂检测
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
4．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
5．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
参考答案
典型例题
[例1] 解：从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此有A＝5×4×3＝60种不同的安排方法．
[活学活用]
答案：15
解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．
典型例题
[例2] 解： (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2 880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．
[活学活用]
答案：252
解析：分两步完成：第1步，安排三名主力队员有A种排法；第2步安排另2名队员有A种排法，所以共有A·A＝252种不同的出场安排．
典型例题
[例3] 解： (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法．
[活学活用]
解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法．
(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A种排法，甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3 600种甲、乙不相邻的排法．
法二(插空法)：将其余5人排列，有A种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3 600种排法．
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法．
(4)(插空法)将其余4人排好，有A种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法．
随堂检测
1．答案：C
解析： 由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.
2．答案：B
解析： 从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
3．答案：11
解析：因为good有两个相同字母，所以可能出现A－3AA－1＝11种错误．
4．答案：36
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A＝3×12＝36种选法．
5．解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．