人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_2组合、组合数(1)导学案

6.2 组合、组合数(1)
【学习目标】
1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．
2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
3．会解决一些简单的组合问题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P21～25，思考并完成以下问题
1．组合的概念是什么？
2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？
3．组合数有怎样的性质？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.(　　)
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．(　　)
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(　　)
(4)C＝5×4×3＝60.(　　)
2．若C＝10，则n的值为(　　)
A．10　　　　B．5　　　　C．3　　　　D．4
3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　　)
A．504种 B．729种
C．84种 D．27种
4．计算C＋C＋C＋C＝________.
三、新知探究
1．组合的概念
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示法 C
组合数 公式 乘积式 C＝＝
阶乘式 C＝
性质 C＝C，C＝C＋C
备注 ① n，m∈N*且m≤n， ②规定：C＝1
3．排列与组合的联系与区别
联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
四、题型突破
题型一 组合的概念
【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
【反思感悟】
根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
【跟踪训练】
1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数：
(1)规定10人相互通一次电话，共通多少次电话？
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
题型二 有关组合数的计算与证明
【例2】(1)计算：C－C·A；
(2)已知－＝，求C＋C.
【例3】求和：C＋C＋C＋…＋C.
【反思感悟】
在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质．一般地，计算C时，若m比较大，可利用性质①，不计算C而改为计算C，在计算组合数之和时，常利用性质②.
【跟踪训练】
2．(1)求函数f(n)＝C＋C的定义域；
(2)解不等式：C题型三　简单的组合问题
【例4】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【反思感悟】
解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事；
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
【跟踪训练】
3．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
五、达标检测
1．下面几个问题中属于组合问题的是(　　)
①由1,2,3,4构成的双元素集合；
②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由1,2,3构成两位数的方法；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③　　　B．②④　　　C．①②　　　D．①②④
2．C＋C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．C B．C
C．C D．C
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)
A. 14 B．24
C．36 D．40
4．已知{a，b} A {a，b，c，d}，满足这个关系式的集合A有________个．
5．若C＝A，求n的值．
六、本课小结
1．本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)组合概念的理解，见例1；
(2)组合数公式及性质的应用，见例2、例3；
(3)会解决简单的组合应用题，见例4.
3．本节课的易错点是利用组合数性质C＝C解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上，C＝C
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：210
题型突破
【例1】解析：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪个人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
【跟踪训练】
1．解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45.
(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A＝90.
(4)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120.
(5)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720.
【例2】解析：(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)原等式可化为＝－＝，
即－＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
而0≤m≤5，∴m＝2.
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
【例3】解析：解法一：
原式＝C＋(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)＝C＝166 650.
解法二：
原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…
＝C
＝C＝166 650.
解法三：
原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…
＝C
＝166 650.
【跟踪训练】
2．解：(1)由题意知，原式中的自然数n必须满足不等式组
由①得≤n<38，由②得0∴≤n≤，又n∈N*，∴n＝10.
即f(n)定义域为{10}．
(2)由题设不等式，得
<<.
化简得n－2<13－n且n－1<12－n，解得n<，又由题设知3≤n≤11，∴n＝3,4,5,6.
∴原不等式的解集为{3,4,5,6}.
【例4】解析：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
【跟踪训练】
3．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45种．
(2)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C·C＝·＝90种．
达标检测
1．答案：C
解析：③与④都与排序有关，不是组合．
2．答案：D
解析：原式＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C
＝C＝C＝C.
3．答案：A
解析：从6人中任选4人的选法种数为C＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
4．答案：4
解析：满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}，共4个．
5．解：由C＝A，得
＝·，
即＝，解得n＝－1(舍)或n＝4.
故n＝4.