人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_3_1二项式定理导学案

6.3.1二项式定理
学习目标
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．识记二项式定理及其特征，能用通项公式解决与二项展开式有关的简单问题．
3．通过对二项式定理的研究，体会特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践认识事物的过程．
学习重难点
重点：利用通项公式求特定项或其系数
难点：二项式定理的证明
学习过程
一、知识引导
[提出问题]
问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若有一个选a，其余三个选b，则得；若都选b，则得Ca0b4.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？
提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.
[导入新知]二项式定理及其相关概念
二项式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
通项 Tk＋1＝Can－kbk
二项式定理的特例 (1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxk＋…＋xn
[化解疑难]
1．(a＋b)n的二项展开式中，字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
2．二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
3．二项展开式的通项公式的特点
(1)它表示(a＋b)n的展开式的第k＋1项，该项的二项式系数为C.
(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同．
(3)a和b的次数之和为n.
二、典型例题
题型一：二项式定理的正用、逆用
[例1]　(1)求(x＋2y)4的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[类题通法]
1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
[活学活用]
1、(1)求的展开式．
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
题型二：求二项展开式中的特定项
[例2]　(1)在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项　　　　　　　 B．5项
C．6项 D．7项
(2)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
[类题通法]
1．在通项公式Tk＋1＝Can－kbk(n∈N*，k＝0,1,2,3，…，n)中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．
2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．
[活学活用]
2、已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
题型三：求二项式系数与项的系数
[例3]　在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
[类题通法]
1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中第3项，T3＝C·8－2·(2x2)2＝112x2.
2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．
[活学活用]
3、(1)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
(2)(四川高考)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．
三、随堂检测
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)
A．－27C　　　　　　　 B．27C
C．－9C D．9C
2．在的展开式中常数项是(　　)
A．－28 B．－7
C．7 D．28
3．在的展开式中，中间项是________．
4.9的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项的系数是________．
5．求的展开式的第三项的系数和常数项．
参考答案
典型例题
[例1]　[解]　(1)(x＋2y)4＝x4＋x3(2y)＋x2(2y)2＋x(2y)3＋ (2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
(2)原式＝ (x＋1)n＋ (x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[活学活用]
1、解：(1)法一：4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋.
法二：＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝ (x－1)5＋ (x－1)4＋ (x－1)3＋ (x－1)2＋ (x－1)＋－＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
典型例题
[例2]　 [答案]　(1)A　(2)－10
[解析]　(1)Tk＋1＝C(x)20－kk
＝k·()20－kC·x20－k.
∵系数为有理数，∴()k与均为有理数，
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2) ，令－＝0，得k＝3，
所以A＝－＝－10.
[活学活用]
2、解：通项公式为
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)根据通项公式，
由题意得
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r.
∵k∈Z，∴r应为偶数．
于是r可取2,0，－2，即k可取2,5,8.
故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
典型例题
[例3]　[解]　法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数为C·24＝1 120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·，
则第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
[活学活用]
答案：(1)4　(2)10
解析：(1)6的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k·(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.
(2)(x＋y)5展开式的通项是，
令k＝3得T4＝Cx2y3＝10x2y3，
故二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.
随堂检测
1．答案：D
解析：含x6的项是.
2．答案：C
解析： ，
当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.
3．答案：－160x3
解析：由n＝6知中间一项是第4项，
因T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
4. 答案：84　－
解析： Tk＋1＝C·(x2)9－k·k＝k·C·x18－3k，
当k＝3时，T4＝3·C·x9＝－x9，
所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.
5．解：，所以第三项的系数为＝.
通项，
令15－5k＝0得k＝3，所以常数项为.