人教A版（2019）数学选择性必修第三册6_3_2二项式系数的性质导学案

6.3.2　二项式系数的性质
学习目标
1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．
2．了解二项式系数的性质并能简单应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活应用．
学习重难点
重点：二项式系数性质的应用
难点：杨辉三角的特点
学习过程
一、新知探究
[提出问题]
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．
[导入新知]
二项式系数的性质
性质 内容
对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大．
如果n为奇数，那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值．
二项式系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[化解疑难]
1．求二项式系数最大的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式的某一项，某一项的二项式系数，某一项的系数是三类不同的问题，要注意区别．
二、典型例题
题型一 与“杨辉三角”有关的问题
[例1]　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
[类题通法]
解决与“杨辉三角”有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．
[活学活用]
1、如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行　 1
第1行　 1　1
第2行　 1　2　1
第3行　 1　3　3　1
第4行　 1　4　6　4　1
第5行　 1　5　10　10　5　1
　…　　　　 　　　　　 …
题型二 求二项展开式中系数和
[例2]　设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)a1＋a3＋a5的值；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值.
[类题通法]
“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
[活学活用]
2、若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
题型三 二项式系数的性质
[例3]　已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[类题通法]
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
[活学活用]
3、在8的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
三、随堂检测
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　　　　 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
4．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为________．
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
…
5．求(1－x)8的展开式中，
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
参考答案
典型例题
[例1]　解：＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
[活学活用]
1、答案：34
解析：由“杨辉三角”知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解得n＝34.
典型例题
[例2]　解：　记f(x)＝(1－2x)5.
(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.
(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝[f(1)－f(－1)]＝(－1－35)＝－122.
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(-1)－f(0)＝35－1＝242.
[活学活用]
2、解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
典型例题
[例3]　解：　令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，
.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由，
得∴≤k≤，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
.
[活学活用]
3、解：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
故T5＝C·24·x＝1 120x－6.
(2)因.
设第k＋1项系数的绝对值最大，
则
即整理得
于是k＝5或6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
随堂检测
1．答案：C
解析：该式展开共2n＋2项，中间有两项；第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
2．答案：B
解析： C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
3．答案：5
解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
4．答案：2n－1
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
5．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C(－x)4＝70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．
即第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，
T6＝C(－x)5＝－56x5.