人教A版（2019）数学选择性必修第三册8_1_1变量的相关关系导学案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册8_1_1变量的相关关系导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 182.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 20:37:06 | ||
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文档简介
8.1.1 变量的相关关系
【学习目标】
1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系.
2. 掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P93～95，思考并完成以下问题
(1)什么是为变量间的相关关系？它与函数关系有什么异同？
(2)什么是正相关、什么是负相关？
(3)什么是线性相关、什么是非线性相关？
二、课前小测
1．判断
（1）统计活动中，分析数据时通常用统计图表计算数据的数据特征．( )
（2）在一定范围内，农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系．( )
（3）对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图．( )
2．(多选题)下列说法正确的是( )
A．任何两个变量都具有相关关系
B．圆的周长与该圆的半径具有相关关系
C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
D．根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系
3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
三、新知探究
1．相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．
3．线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
四、题型突破
题型一 相关关系的理解
【例1】判断以下两个变量之间是否具有相关关系？
(1)正方形的面积与其周长之间的关系；
(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；
(3)学生的学号与身高；
(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．
【反思感悟】
函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【跟踪训练】
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
题型二 散点图与相关性
【例2】 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？
【多维探究】
1.(变条件，变问法)若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．
2. (变条件，变问法)若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图．
【反思感悟】
判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
【跟踪训练】
2．5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
学生 成绩 A B C D E
数学成绩 80 75 70 65 60
物理成绩 70 66 68 64 62
判断它们是否具有线性相关关系．
题型三 散点图及其应用
【例3】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
【反思感悟】
1．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
2．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．
【跟踪训练】
3. (多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
五、达标检测
1．下列每组的两个变量之间具有相关关系的是( )
A．乌鸦叫，灾难到
B．圆心角的大小与半径
C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系
D．儿童的年龄与身高
2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜
3．观察下列散点图，具有相关关系的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
4．(多选题)对于给定的两个变量的统计数据，下列说法不正确的是( )
A．都可以分析出两个变量之间的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．(多选题)下列关系是相关关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系
C．作文水平与课外阅读量之间的关系
D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系
六、本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升直观想象及数据分析素养．
2．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．答案：CD
解析：A显然不对，B是函数关系，CD正确．
3．答案：C
解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
题型突破
【例1】解析：(1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝2，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系；
(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系；
(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；
(4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系．
【跟踪训练】
1．答案：ABD
解析：闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正确．
【例2】解析：(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系．
【多维探究】
1. 解析：近似拟合直线如图所示：
2. 解析：木材的价值与树龄之间的关系如表所示：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
价值 2 400 2 720 3 200 4 800 4 400 4 960 5 600
以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示：
【跟踪训练】
2．解析：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
【例3】解析：(1)散点图如下：
(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．
【跟踪训练】
3. 答案：BCD
解析：由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．
达标检测
1．答案：D
解析：A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系．
2．答案：D
解析：瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，没有必然的关系，故选D.
3．答案：D
解析：①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系．
4．答案：ABD
解析：给出一组样本数据，不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似地表示，故A、B不正确；但总可以作出相应的散点图，C正确；两个变量的统计数据不一定有函数关系，故D不正确．
5．答案：BC
解析：A，D中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而B，C中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系．故选BC.
【学习目标】
1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系.
2. 掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P93～95，思考并完成以下问题
(1)什么是为变量间的相关关系？它与函数关系有什么异同？
(2)什么是正相关、什么是负相关？
(3)什么是线性相关、什么是非线性相关？
二、课前小测
1．判断
（1）统计活动中，分析数据时通常用统计图表计算数据的数据特征．( )
（2）在一定范围内，农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系．( )
（3）对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图．( )
2．(多选题)下列说法正确的是( )
A．任何两个变量都具有相关关系
B．圆的周长与该圆的半径具有相关关系
C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
D．根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系
3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
三、新知探究
1．相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．
3．线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
四、题型突破
题型一 相关关系的理解
【例1】判断以下两个变量之间是否具有相关关系？
(1)正方形的面积与其周长之间的关系；
(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；
(3)学生的学号与身高；
(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．
【反思感悟】
函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【跟踪训练】
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
题型二 散点图与相关性
【例2】 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？
【多维探究】
1.(变条件，变问法)若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．
2. (变条件，变问法)若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图．
【反思感悟】
判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
【跟踪训练】
2．5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
学生 成绩 A B C D E
数学成绩 80 75 70 65 60
物理成绩 70 66 68 64 62
判断它们是否具有线性相关关系．
题型三 散点图及其应用
【例3】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
【反思感悟】
1．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
2．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．
【跟踪训练】
3. (多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
五、达标检测
1．下列每组的两个变量之间具有相关关系的是( )
A．乌鸦叫，灾难到
B．圆心角的大小与半径
C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系
D．儿童的年龄与身高
2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜
3．观察下列散点图，具有相关关系的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
4．(多选题)对于给定的两个变量的统计数据，下列说法不正确的是( )
A．都可以分析出两个变量之间的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．(多选题)下列关系是相关关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系
C．作文水平与课外阅读量之间的关系
D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系
六、本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升直观想象及数据分析素养．
2．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．答案：CD
解析：A显然不对，B是函数关系，CD正确．
3．答案：C
解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
题型突破
【例1】解析：(1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝2，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系；
(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系；
(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；
(4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系．
【跟踪训练】
1．答案：ABD
解析：闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正确．
【例2】解析：(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系．
【多维探究】
1. 解析：近似拟合直线如图所示：
2. 解析：木材的价值与树龄之间的关系如表所示：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
价值 2 400 2 720 3 200 4 800 4 400 4 960 5 600
以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示：
【跟踪训练】
2．解析：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
【例3】解析：(1)散点图如下：
(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．
【跟踪训练】
3. 答案：BCD
解析：由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．
达标检测
1．答案：D
解析：A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系．
2．答案：D
解析：瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，没有必然的关系，故选D.
3．答案：D
解析：①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系．
4．答案：ABD
解析：给出一组样本数据，不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似地表示，故A、B不正确；但总可以作出相应的散点图，C正确；两个变量的统计数据不一定有函数关系，故D不正确．
5．答案：BC
解析：A，D中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而B，C中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系．故选BC.