人教A版（2019）数学选择性必修第三册8_2一元线性回归模型及其应用(1)导学案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修第三册8_2一元线性回归模型及其应用(1)导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 20:38:12 | ||
图片预览
文档简介
8.2一元线性回归模型及其应用(1)
【学习目标】
1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义.
2.了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P105～110，思考并完成以下问题
(1) 什么是一元线性回归模型？
(2) 什么是经验回归方程？什么是最小二乘法？
二、课前小测
1．判断
（1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．( )
（2）线性回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(，)．( )
2．(多选题)下列有关回归直线方程＝x＋叙述正确的是( )
A．反映与x之间的函数关系
B．反映y与x之间的函数关系
C．表示与x之间不确定关系
D．表示最接近y与x之间真实关系的一条直线
3．某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是__________亿元．
三、新知探究
1．一元线性回归模型
我们称
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
2．线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征.
我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )，
其中
四、题型突破
题型一 求回归直线方程
【例1】 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
【反思感悟】
求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.
(4)计算，，x，xiyi.
(5)代入公式计算，，公式为
(6)写出线性回归方程＝x＋.
【跟踪训练】
1. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程．
题型二 利用回归直线方程对总体进行估计
【例2】一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数y(件) 11 9 8 5
(1)画出散点图；
(2)如果y与x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
【多维探究】
1. (变条件，变设问)本例中近似方程不变，当每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？
2. (变条件，变设问)本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速．
【反思感悟】
本题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义.
【跟踪训练】
2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5
(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的线性回归方程；
(2)试预测加工10个零件需要多少时间？
(参考公式：)
五、达标检测
1．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的线性回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
3．设有一个回归方程为＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则线性回归方程是__________．
5．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：
广告费用x/万元 3 4 5 6
销售额y/万元 25 30 40 45
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．
六、本课小结
1．通过本节课的学习，提升数学抽象素养及数据分析素养．
2．求线性回归方程时应注意的问题
(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
(2)用公式计算，的值时，要先计算，然后才能算出.
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为＝x＋，则在x＝x0处的估计值为0＝x0＋ .
参考答案
课前小测
1．（1）答案：×
解析：因有多种，测量工具和测量精度仅仅是其中的一个方面．
（2）答案：√
2．答案：AD
解析：＝x＋表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，∴选AD.
3．答案：12.1
解析：∵＝0.8x＋0.1，
∴＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)．
题型突破
【例1】解：(1)如图：
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
(2)＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
，
，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
【跟踪训练】
1. 解：(1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 6 8
yi 30 40 60 50 70
xiyi 60 160 300 300 560
x 4 16 25 36 64
于是可得，，＝－＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
【例2】解：(1)散点图如图所示：
(2)近似直线如图所示：
(3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．
【多维探究】
1. 解：因为y＝x－，所以当x增加一个单位时，y大约增加，即每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加1个．
2. 解：因为y＝x－，所以当y＝7时，7＝x－，解得x≈11，即估计机器的转速约为11转/秒．
【跟踪训练】
2．解：(1)由表中数据，得＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，
＝22＋32＋42＋52＝54，
＝＝3.5，
＝＝3.5.
∴＝＝0.7.
∴＝－＝3.5－0.7×3.5＝1.05.
∴y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(2)加工10个零件时，大约需要0.7×10＋1.05＝8.05(小时).
达标检测
1．答案：B
解析：因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
2．答案：D
解析：当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
3．答案：C
解析：∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．
4．答案：＝1.23x＋0.08
解析：回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23，
又回归直线过定点(4，5)，∴＝5－1.23×4＝0.08，
∴＝1.23x＋0.08.
5．解析：由题意得＝＝4.5，
＝＝35.
∵回归直线方程＝x＋中=7，∴35=7×4.5+，解得=3.5，
∴＝7x＋
∴当x=10时，＝7×10＋=73.5(万元)
【学习目标】
1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义.
2.了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P105～110，思考并完成以下问题
(1) 什么是一元线性回归模型？
(2) 什么是经验回归方程？什么是最小二乘法？
二、课前小测
1．判断
（1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．( )
（2）线性回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(，)．( )
2．(多选题)下列有关回归直线方程＝x＋叙述正确的是( )
A．反映与x之间的函数关系
B．反映y与x之间的函数关系
C．表示与x之间不确定关系
D．表示最接近y与x之间真实关系的一条直线
3．某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是__________亿元．
三、新知探究
1．一元线性回归模型
我们称
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
2．线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征.
我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )，
其中
四、题型突破
题型一 求回归直线方程
【例1】 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
【反思感悟】
求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.
(4)计算，，x，xiyi.
(5)代入公式计算，，公式为
(6)写出线性回归方程＝x＋.
【跟踪训练】
1. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程．
题型二 利用回归直线方程对总体进行估计
【例2】一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数y(件) 11 9 8 5
(1)画出散点图；
(2)如果y与x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
【多维探究】
1. (变条件，变设问)本例中近似方程不变，当每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？
2. (变条件，变设问)本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速．
【反思感悟】
本题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义.
【跟踪训练】
2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5
(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的线性回归方程；
(2)试预测加工10个零件需要多少时间？
(参考公式：)
五、达标检测
1．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的线性回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
3．设有一个回归方程为＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则线性回归方程是__________．
5．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：
广告费用x/万元 3 4 5 6
销售额y/万元 25 30 40 45
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．
六、本课小结
1．通过本节课的学习，提升数学抽象素养及数据分析素养．
2．求线性回归方程时应注意的问题
(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
(2)用公式计算，的值时，要先计算，然后才能算出.
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为＝x＋，则在x＝x0处的估计值为0＝x0＋ .
参考答案
课前小测
1．（1）答案：×
解析：因有多种，测量工具和测量精度仅仅是其中的一个方面．
（2）答案：√
2．答案：AD
解析：＝x＋表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，∴选AD.
3．答案：12.1
解析：∵＝0.8x＋0.1，
∴＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)．
题型突破
【例1】解：(1)如图：
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
(2)＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
，
，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
【跟踪训练】
1. 解：(1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 6 8
yi 30 40 60 50 70
xiyi 60 160 300 300 560
x 4 16 25 36 64
于是可得，，＝－＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
【例2】解：(1)散点图如图所示：
(2)近似直线如图所示：
(3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．
【多维探究】
1. 解：因为y＝x－，所以当x增加一个单位时，y大约增加，即每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加1个．
2. 解：因为y＝x－，所以当y＝7时，7＝x－，解得x≈11，即估计机器的转速约为11转/秒．
【跟踪训练】
2．解：(1)由表中数据，得＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，
＝22＋32＋42＋52＝54，
＝＝3.5，
＝＝3.5.
∴＝＝0.7.
∴＝－＝3.5－0.7×3.5＝1.05.
∴y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(2)加工10个零件时，大约需要0.7×10＋1.05＝8.05(小时).
达标检测
1．答案：B
解析：因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
2．答案：D
解析：当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
3．答案：C
解析：∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．
4．答案：＝1.23x＋0.08
解析：回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23，
又回归直线过定点(4，5)，∴＝5－1.23×4＝0.08，
∴＝1.23x＋0.08.
5．解析：由题意得＝＝4.5，
＝＝35.
∵回归直线方程＝x＋中=7，∴35=7×4.5+，解得=3.5，
∴＝7x＋
∴当x=10时，＝7×10＋=73.5(万元)