人教A版(2019)数学选择性必修第三册题型归纳3:二项式定理学案

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名称 人教A版(2019)数学选择性必修第三册题型归纳3:二项式定理学案
格式 docx
文件大小 73.3KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-03 20:40:42

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文档简介

题型归纳:二项式定理
题型1 二项展开式中特定项及系数问题
【例1】二项式10的展开式中,项的系数是(  )
A. B.-
C.15 D.-15
【例2】8的展开式中的常数项为________.
【跟踪训练1】在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.
【跟踪训练2】6的展开式的常数项为160,则实数a=________.
【方法总结】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=Can-kbk的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).
题型2 二项式系数的性质及各项系数和
【例1】(1)(2020·合肥模拟)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为(  )
A.-1 B.1
C.32 D.64
(2)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(  )
A.0 B.1
C.32 D.-1
(3)在(1+x)n(x∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=________.
【跟踪训练1】若n的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项是(  )
A.6 B.
C.4x D. 或4x
【跟踪训练2】已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=(  )
A.1 B.243
C.121 D.122
【跟踪训练3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为________.
【跟踪训练4】已知(1+3x)n的展开式中,后三项的二项式系数的和等于121,则展开式中二项式系数最大的项为________.
【方法总结】
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立.因此,可将x,y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如:
(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.
(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
2.二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,则中间两项的二项式系数相等并最大.
题型3 多项式展开式中特定项系数问题
【例1】在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是(  )
A.10 B.15
C.20 D.25
【例2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(  )
A.12 B.16
C.20 D.24
(2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0,则正实数a=________.
【例3】5的展开式中x2的系数是________.
【跟踪训练1】在6的展开式中,含x5项的系数为(  )
A.6 B.-6
C.24 D.-24
【跟踪训练2】5的展开式中常数项为(  )
A.-30 B.30
C.-25 D.25
【方法总结】
1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定的项,再求和即可.
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
3.(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法
参考答案
题型1 二项展开式中特定项及系数问题
【例1】答案:B
解析: 10的二项展开式的通项为Tr+1=C10-rr=(-1)r22r-10Cx,
令5-=,得r=3,所以项的系数是(-1)3·2-4·C=-.故选B.
【例2】答案:28
解析:8的通项为Tr+1=C8-r·r=C28-rr·x8-4r.
令8-4r=0,得r=2,∴ 常数项为T3=C262=28.
【跟踪训练1】
答案:16 5
解析:由二项展开式的通项公式可知Tr+1=C·()9-r·xr,r∈N,0≤r≤9,
当项为常数项时,r=0,T1=C·()9·x0=()9=16.
当项的系数为有理数时,9-r为偶数,
可得r=1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数是5.
【跟踪训练2】
答案:2
解析:
法一:6的展开式的通项Tr+1=C(ax)6-r·r=Ca6-rx6-2r,
令6-2r=0,得r=3,所以Ca6-3=160,解得a=2.
法二:6=,
要得到常数项,则需ax与的个数相同,各为3个,
所以从6个因式中选择3个ax的系数,即Ca3=160,解得a=2.
题型2 二项式系数的性质及各项系数和
【例1】答案:(1)D (2)A (3)10
解析:(1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2,x5项的系数为Ca5b,
则由题意可得解得a+b=±2,
故(ax+b)6的展开式中所有项的系数之和为(a+b)6=64.
(2)由(1-x)5的展开式的通项Tr+1=C(-x)r=C(-1)rxr,可知a1,a3,a5都小于0.
则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5.
在原二项展开式中令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.
(3)二项式中仅x5的系数最大,其最大值必为,即得=5,解得n=10.
【跟踪训练1】
答案:A
解析:令x=1,可得n的展开式中各项系数之和为2n,
即8<2n<32,解得n=4,
故第3项的系数最大,
所以展开式中系数最大的项是C()22=6.
【跟踪训练2】
答案:B
解析:令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①
令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②
①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,
即a4+a2+a0=-121.
①-②,得2(a5+a3+a1)=244,
即a5+a3+a1=122.
所以|a0|+|a1|+…+|a5|=122+121=243.
【跟踪训练3】
答案:-3或1
解析:令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,
令x=-2,则m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,
又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,
∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,
∴m=-3或m=1.
【跟踪训练4】
答案:C(3x)7和C(3x)8
解析:由已知得C+C+C=121,
则n·(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15(舍去负值),
所以展开式中二项式系数最大的项为T8=C(3x)7和T9=C(3x)8.
题型3 多项式展开式中特定项系数问题
【例1】答案:C
解析:含x2项的系数为C+C+C+C=20.
【例2】答案:(1)A (2)
解析:(1)(1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1=Cxk(k=0,1,2,3,4),
故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C+2C=12.
故选A.
(2)(ax+1)6的展开式中x2的系数为Ca2,x的系数为Ca,
因为(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0,
所以-Ca2+Ca=0,解得a=0或a=.
因为a为正实数,所以a=.
【例3】答案:120
解析:在5的展开式中,含x2的项为2C4,23C2,
所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC+23CC=40+80=120.
【跟踪训练1】
答案:B
解析:由6=C6-C5+C4-…-C+C,
可知只有-C5的展开式中含有x5,
所以6的展开式中含x5项的系数为-CC=-6,
故选B.
【跟踪训练2】
答案:C
解析: 5=x25-3x5+5,
5的展开式的通项Tr+1=C(-1)rr,
易知当r=4或r=2时原式有常数项,
令r=4,T5=C(-1)44,
令r=2,T3=C(-1)2·2,
故所求常数项为C-3×C=5-30=-25,故选C.