人教A版（2019）数学选择性必修二册 4_3_1等比数列的概念 (2)导学案

4.3.1　等比数列的概念 (2)
【学习目标】
1.掌握等比数列的性质及其应用．
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．
3.能用递推公式求通项公式．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P31～33，思考并完成以下问题
1.等比数列项的运算性质是什么？
2.类比等差数列，能否得到等比数列的相类似的性质呢？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积． (　　)
(2)在等比数列{an}中，q＞1时是递增数列． (　　)
(3)若数列{an}是等比数列，那么，{a}，{|an|}都是等比数列． (　　)
2．已知数列{an}是等比数列，下列说法错误的是(　　)
A．a3，a5，a7成等比数列
B．a1，a3，a9成等比数列
C．an，an＋1，an＋2成等比数列
D．n＞3时，an－3，an，an＋3成等比数列
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　)
A．－25　 B．25　　　C．10　　　D．20
4．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.
5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
三、新知探究
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
思考：如何推导an＝amqn－m
[提示]　由＝＝qn－m，
∴an＝am·qn－m.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．
四、题型突破
题型一 灵活设项求解等比数列
【例1】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
[思路探究]　本题由于涉及的数列的项比较特殊，巧妙设为对称项，会给解题带来方便．
【反思感悟】
巧设等差数列、等比数列的方法
1 若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
2 若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
【跟踪训练】
1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
题型二　等比数列的性质及应用
【例2】　已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[思路探究]　利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．
【反思感悟】
解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法
1 基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐.
2 数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被用到.
【跟踪训练】
2．(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5　　 B．7　　　　C．6　　　　D．±5
(2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为(　　)
A．－或 B．－
C． D．或－
题型三　由递推公式构造等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？
[提示]　由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
2．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，能否证明{an＋1}是一个等比数列？
[提示]　在an＋1＝2an＋1两边都加1得
an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？
[提示]　先将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an＋即可求出an.
【例3】　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
[思路探究]　(1)把n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
【多维探究】
1．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．
2．将本例中条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝，an＋1＝an＋”，试证明{an－3× }为等比数列，并求{an}的通项公式．
【反思感悟】
两种递推公式构造等比数列的模型
1 由递推关系an＋1＝Aan＋B A，B为常数，且A≠0，A≠1 求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A an＋λ 可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.
2 形如an＋1＝can＋dn c≠d，cd≠0 的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn＋1得＝×＋，进而化归为等比数列.还可以两边同除以cn＋1得＝＋×，再利用累加法求出，即得an.
五、达标检测
1．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝(　　)
A．26　　 B．30　　　　 C．34　　　　 D．38
2．已知数列{an}为等比数列，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6 ，则S11＝(　　)
A．44 B．－44 C．88 D．－88
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
4．已知在公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
5．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
六、本课小结
1．与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：
(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．
(3)题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
2．在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了．
参考答案
课前小测
1．答案：　(1)√　(2)×　(3)√
提示：(2)q＞1，a1＜0时，数列{an}是递减数列．(3)若{an}的公比为q，则，{a}，{|an|}的公比分别为，q2，|q|.
2．答案：B
解析：在等比数列中，若m＋n＝2p，则aman＝a，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B.
3．答案：B
解析：在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝9＋10，∴a7a12＝a8a11＝a9a10.
∴原式＝(a7a12)2＝25.故选B.
4．答案：9
解析：因为a7＝a5q2，所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.
5．答案：1
解析：设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，因为a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，故q＝＝＝1.
题型突破
【例1】解：
法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.
由题意得，解得q＝2或q＝.
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝时，a＝，这四个数为，，，.
法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d.
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，
设第二个数为b，则第三个数为18－b，
则这四个数为a，b，18－b，21－a，
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
【跟踪训练】
1．解：
法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，
设第二个数为b，则第三个数为12－b，
∴这四个数为a，b，12－b，16－a，
由题意得
解得或
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
【例2】解：
(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
【跟踪训练】
2．答案：(1)A　(2)D
解析：(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5，
a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，
所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝＝5.
法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5.
(2)等比数列{an}中，∵a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，
∴a2·a16＝2.又∵ a2 ·a16 ＝ a ＝2，∴a9＝±，∴＝＝a9＝±.故选D.
【例3】解：
(1)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
【多维探究】
1．证明：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2.
所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，
所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.
所以bn＝3·2n－1.
2．证明：令an＋1－A×＝，
则an＋1＝an＋×.
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3×＝.
又a1－3×＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
于是an－3×＝－×，
故an＝3×－2×.
达标检测
1．答案：C
解析：由题意可得：a＝a2a6，即2＝a2，
结合题意有：(a2＋4)2＝a2(a2＋16)，解得a2＝2，则a10＝a2＋8d＝2＋8×4＝34.故选C.
2．答案：A
解析：由题意，数列{an}为等比数列，满足a2＝1，a10＝16，
根据等比数列的性质，可得a2a10＝1×16＝a，a6>0，可得a6＝4，
所以b6＝a6＝4，则S11＝＝11×b6＝44，故选A.
3．答案：8
解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，
由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，
因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负)．
所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.
4．答案：
解析：∵a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝，
∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝.
5．解：
(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.